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Étude de la série binôme

Posté par
masterrr 13-09-09 à 09:40

Bonjour,

J'essaye de résoudre le problème suivant, mais je rencontre quelques soucis...
Merci d'avance pour votre aide !
________________________________________________________________________________________________________

Le but de cet exercice est d'étudier, selon les valeurs de 5$ \alpha \in \mathbb{R} et de 5$ z \in \mathbb{C}, la nature de la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n où l'on a posé 5$ a_0=1 et 5$ \forall n \ge 1, a_n=\frac{5$ \Bigprod_{k=0}^{n-1}~(\alpha-k)}{n!}.

1. On suppose que 5$ \alpha \in \mathbb{N}. Montrer que la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n converge pour tout 5$ z \in \mathbb{C}.

2. On suppose que 5$ \alpha \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{N}. Soit 5$ z \in \mathbb{C}. Déterminer la nature de 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n lorsque 5$ |z|<1 et lorsque 5$ |z|>1.

On supposera donc dans toute la suite que 5$ \alpha \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{N} et que 5$ |z|=1.

3. a) Montrer qu'à partir d'un certain rang, 5$ |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1-\frac{\beta}{n}+O\left( \frac{1}{n^2} \right) où 5$ \beta est une constante que l'on exprimera à l'aide de 5$ \alpha.

b) On pose 5$ w_n=\ln(n^{\alpha+1}|a_n|). Montrer que la série de terme général 5$ w_{n+1}-w_n converge.

c) Montrer qu'il existe 5$ \lambda>0 tel que 5$ |a_n| \sim \frac{\lambda}{n^{\alpha+1}}.

4. En déduire la nature de 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n dans les cas suivants :

a) lorsque 5$ \alpha>0 et 5$ |z|=1 ;
b) lorsque 5$ \alpha \le -1 et 5$ |z|=1 ;
c) lorsque 5$ \alpha \in ]-1,0[ et 5$ z=-1.
________________________________________________________________________________________________________

Je n'ai pas réussi les questions 1 et 2...

3. a) 5$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\alpha-n}{n+1} donc 5$ \forall n \ge \alpha, |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1-\frac{\alpha+1}{n}+O\left( \frac{1}{n^2} \right).

masterrr

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 09:45

Bonjour, masterr

Pour la première question:
a_n est nul à partir d'un certain rang.

Pour la deuxième question:
le rayon de convergence de   sum a_n z^n  est donné par:
R=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|a_n|}{a_{n+1}|}     (si cette limite existe)
On applique ensuite le cours sur les séries entières

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 09:50

Bonjour perroquet,

Merci pour la question 1, ce n'était vraiment pas méchant...

Pour la question 2 par contre, je précise que je n'ai fait que le cours sur les séries numériques (il nous reste encore à voir le produit de Cauchy) et par conséquent je ne connais ni le rayon de convergence, ni de résultats sur les séries entières...

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 10:02

Pour la question 2, tu utilises le résultat suivant:

\sum u_n est une série à termes réels ou complexes.
Si   \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}<1,   alors   \sum u_n converge absolument, (donc converge)
Si   \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}>1,   alors   \sum u_n diverge

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 10:23

Merci, il s'agit de la règle d'Alembert il me semble.

On a donc 5$ |\frac{u_{n+1}}{u_n}|=|\frac{-1-\frac{\alpha}{n}}{1+\frac{1}{n}}|\times|z| qui tend donc vers 5$ |z| lorsque 5$ n tend vers 5$ +\infty.

Ainsi, si 5$ |z|<1, alors la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n converge et si 5$ |z|>1, alors la série 5$ \Bigsum_{n \ge 0}~a_n z^n diverge.

Est-ce correct ?

J'en suis à la question 3. b) : il faut utiliser le fait que la série de terme général 5$ w_{n+1}-w_n converge si, et seulement si, la suite 5$ (w_n) converge non ? Je n'arrive pas à montrer que la suite 5$ (w_n) converge par contre...

Merci d'avance.

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 11:04

Question 2: correct

Question 3b:
En fait, tu déduiras la convergence de la suite w_n de la convergence de la série  sum (w_(n+1)-w_n).
Pour montrer la convergence de cette série, tu utiliseras la question précédente et tu montreras que
3$ w_{n+1}-w_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 11:44

Merci, mais je n'arrive pas à montrer que 5$ w_{n+1}-w_n=O\left( \frac{1}{n^2} \right)...

J'ai 5$ w_{n+1}-w_n=\ln\left( |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \right)+\ln\left( \frac{n^{\alpha+1}}{n^\alpha} \right)=-\frac{\beta}{n}+\frac{\beta(1-\beta)}{2n^2}+o\left( \frac{1}{n^2} \right)+\ln\left( \frac{n^{\alpha+1}}{n^\alpha} \right) et je bloque parce qu'on ne connaît pas la valeur de 5$ \alpha donc il faudrait discuter selon les cas ?

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 11:46

Ah si en fait on sait que 5$ \beta=\alpha+1 donc on peut se débarrasser de 5$ \alpha, du coup j'obtiens du 5$ \ln(n) en plus...

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 11:47

D'ailleurs je racontes n'importe quoi parce qu'on n'a pas besoin d'utiliser 5$ \beta pour arriver à 5$ \ln(n)...

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 11:47

*raconte*

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 12:07

Attention, il y a une erreur d'étourderie, ce n'est pas
3$ \ln\frac{n^{\alpha+1}}{n^{\alpha}}
mais
3$ \ln\frac{(n+1)^{\alpha+1}}{n^{\alpha+1}}

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 12:43

Oui, c'était juste sur mon brouillon mais j'ai recopié faux sur le forum et du coup j'ai continué avec cette erreur...

Comment poursuivre ?

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 15:49

Comme je te l'ai expliqué, on arrive à:

3$ w_{n+1}-w_n=0\left(\frac{1}{n^2}\right)

Donc,  \sum \left(w_{n+1}-w_n\right)  converge.

Donc, (w_n) converge.

Donc   3$ \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{\alpha+1}|a_n|=e^l    où l est la limite de la suite (w_n)

...

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 17:19

Oui je sais que vous me l'avez expliqué, merci d'ailleurs, mais c'est juste que je bloque sur le 5$ O\left( \frac{1}{n^2} \right), mais je m'en suis sorti !

Pour la question 4, je trouve que la série de terme général 5$ a_n z^n :

- converge lorsque 5$ \alpha>0 et 5$ |z|=1 (équivalente à une suite de Riemann convergente) ;
- diverge lorsque 5$ \alpha \le -1 et 5$ |z|=1 (équivalente à une suite de Riemann divergente) ;
diverge lorsque 5$ \alpha \in ]-1,0[ et 5$ z=-1 (série de terme général qui ne tend pas vers 0).

Est-ce correct ?

Posté par
perroquetre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 18:28

Pour alpha inférieur ou égal à -1, le bon argument, c'est que le terme général de la suite ne tend pas vers 0

Pour alpha dans ]-1,0[ et z=-1: on a une série à termes positifs équivalente à une série de Riemann divergente, elle diverge

Pour alpha dans ]-1,0[ et z=1: on a une série alternée dont le terme général tend vers 0, la série est convergente.

(Ce dernier point n'étant pas demandé, apparemment ...)

Posté par
masterrrre : Étude de la série binôme 13-09-09 à 20:50

Merci.


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