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Etude de suite

Posté par
Eric-sson 09-10-08 à 14:04

Bonjour a tous,

j'ai un petit exercice que jai commence mais je n'arrive pas a le terminer:


Soit  3$(u_n)  la suite definie par:

3$ u_1=1   et   3$u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+\frac{1}{2^n} }


1)Montrer que (Un) est croissante (j'ai fait u_{n+1}^2 - u_n^2   mais je c pas si c'est juste)

2)Montrer que pour tout n\ge0 on a :
     4$u_{n+1}\le u_n + \frac{1}{2n}

3) Montrer que 3$(u_n) est convergente et calculer sa limite


merci d'avance.

Posté par
biddlere : Etude de suite 09-10-08 à 14:24

j'ai une idée mais je ne sais pas ce que ca peut donner

tu poses f(x)=(x2+1/2n)0.5 pour n=0.....

alors si f est croissante, la suite Un est monotone
ensuite tu calcules tes 2 premiers termes : si ils sont en ordre croissant, Un est croissante

la démonstration se fait par récurrence

Posté par
veledare : Etude de suite 09-10-08 à 14:34

bonjour
1)u1=1 donc tous les termes sont positifs
u_{n+1}^2-u_n^~2>0=>u_{n+1}>u_n donc la suite est croissante

2)il faut lire \frac{1}{2n}ou\frac{1}{2^n}?

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 09-10-08 à 14:38

pour biddle: je vais essayer ( mais pour la demonstration par reccurence tu parles de la seconde question?


pour veleda: 2) sur la fiche cest ecrit :


     4$u_{n+1}\le u_n + \frac{1}{2n}  je ne sait pas d ou ca viens!!!

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 09-10-08 à 16:47

je crois que la démonstration par récurrence ne donne rien!!!

Posté par
veledare : Etude de suite 09-10-08 à 18:32

pour montrer que la suite est croissante la différence des carrés de deux termes cosécutifs  est une bonne démonstration
u_{n+1}^2_u_n^2=\frac{1}{2^n}>0=>(u_{n+1}-u_n)(u_{n+1}+u_n)>0
comme la suite est positive le second facteur est >0 donc pour tout entier n>1u_{n+1=-u_n>0la suite est croissante
on peut aussi remarquer que u_n^2+\frac{1}{2^n}>u_n^2donc u_{n+1}>\sqrt{u_n^2}
maisu_n>0=>\sqrt{u_n^2}=u_n donc c'est terminé

Posté par
veledare : Etude de suite 09-10-08 à 18:41

2)il y a quelque chose qui cloche de toute façon dans le 2)
il faut montrer l'inégalité pour n0
mais sil'on fait n=0 dans l'inégalité à gauche on a u_1et à droiteu_0qui n'existe pas la suite commençant àu_1 et le \frac[1}{n}qui est infini pour n=0  ???

Posté par
veledare : Etude de suite 09-10-08 à 18:44

et le \frac{1}{n}qui est infini pour n=0

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 09-10-08 à 22:24

alors notre prof s'est tromper surement!!

ça doit surement être


pour tout n\le1  
    
       u_{n+1} = \sqrt{u_n ^2+\frac{1}{2^n} }

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 09-10-08 à 22:28

oups !!


c pour tout n\ge1


   u_{n+1}\le u_n +\frac{1}{2^n}
    


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