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Etude de suite

Posté par
Eric-sson 26-10-08 à 22:40

Bonsoir a tous,

et encore un exo de suite qui me bloque !!

Étudier la nature de la suite numérique u_n définie par :

3$u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})  avec u_o > 0 et a>0

merci pour vos réponses !

Posté par
tringlaridométhode de Newton sans le dire 26-10-08 à 23:12

Un petit peu de culture ne fait pas de mal :

Soit P le polynôme :
\\ P(x) = x^2 - \alpha \\

Le polynôme dérivé vaut :
\\ P^'(x) = 2x \\

Et alors ?
Et bien la récurrence se réecrit :
\\ u_{n+1} = u_n - \frac{u_n^2 - \alpha}{2 u_n} = u_n - \frac{P(u_n)}{P'(u_n)} \\

C'est amusant non ?

Une petite indication, cela s'appelle la méthode de Newton. Il faut remarquer que u_\infty = \sqrt{\alpha} est un point fixe de l'itération. Et en fait la suite va toujours converger vers cette valeur !

Reste plus qu'à faire des démonstrations !

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 26-10-08 à 23:31

mais cette méthode de Newton n est pas enseigné en première année !!

Posté par
Eric-ssonre : Etude de suite 26-10-08 à 23:35

y a t il pas une autre méthode ?

parce que celle la me parait un peu difficile mais comme tu as dit un peu de culture ne fait pas de mal

Posté par
lolo217re : Etude de suite 26-10-08 à 23:42

En suivant l'indication de tringlarido :

u(n+1)- b  =  u(n)-b - ( u(n)-b)(u(n)+b)/2u(n)   où  b  est la racine carrée de a .

= (u(n)-b) [ 1 - (u(n)+b)/2u(n) ] = (u(n)-b)2 /2u(n)


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