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Etude de suite
Bonjour je dois étudier la suite :
un+1 = sin(un) pour u0 
[0; 
/2[
En traçant f(x)=sin(x) et la suite pour n'importe quelle valeur de u0 j'obtiens l'hypothèse :
0
un<un+1</2 que je dois montrer par récurrence ..?
Pour l'initialisation : n=0, on a 0u0<u1</2 mais c'est difficile à montrer avec u0 qui varie 
???
Ensuite on suppose l'hypotèse vraie au rang n et on montre qu'elle est vraie au rang n+1 (plus facile):
D'après l'hypothèse de récurrence on a 0un<un+1</2
Or la fonction sinus est strictement croissante sur [0; /2[ donc sin(0)sin(un)<sin(un+1)<sin(/2)
On obtient 0un+1<un+2<1</2
C'est fini.
Donc un est croissante et majorée, alors un converge vers L.
L
1, L=sin(L) 
???
Quelqu'un peut m'aider ?
Il vaudrait mieux dire " En traçant le graphe de sin " je pense que u est DECROISSANTE Le mieux serait de dire
Je vais prouver que
" 
x > 0 
u : 
telle que u(0) = x n 0 < u(n+1) = sin(u(n)) < u(n) " est vraie .
Cela fait u converge vers un réel r 0 et sin étant continue r = sin(r) donc r = 0
/2] x 
l , x - sin(x) est strictement croissante de 0 à 1 .
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