Tu peux montrer que tous les termes sont > 0, étudier la monotonie, rechercher une convergence, éventuellement calculer une limite...
Calcule déjà les premiers termes pour te faire une idée.

j'ai calculé les 1ers termes de la suite et j'ai montré que tous les termes étaient >0
par contre pr voir si la suite est croissante ou pas j'ai calculé Un+2 - Un+1 et je trouve 1/3(1-2Un+1 +Un²)
Pour que la suite soit croissante il faut 1-2Un+1 +Un² >0 et inversement pour décroissante et pour cela j'ai une question est ce que je dois étudier le signe de 1-2x+x²?

merci

Tu peux écrire :
1-2U_n+1+U_n² = 1-2U_n+U_n²+2U_n-2U_n+1 = (1-U_n)²-2(U_n+1-U_n)
J'ai l'impression que ça peut aider, qu'en penses-tu ?

ok et donc on sait que le carré est positif mais -2(Un+1 - Un) est négatif donc on peut rien en conclure car on ajoite quelquechose de positif et de négatif

J'ai fait un petit programme en LibertyBasic, la suite semble être croissante et converger vers 1 :
U0 = 0
U1 = 1/2
for i = 1 to 10000
U2 = (1/3)*(1+U1+U0^2)
print U2
U0 = U1
U1 = U2
next i
end

0.99950079
0.99950084
0.99950089
0.99950094
0.99950099
0.99950104
0.99950109
0.99950114
0.99950119
0.99950124



Pour montrer la croissance par récurrence, utilise :
U_n+2 - U_n+1 = (1/3)(1 + U_n+1 + U_n²) -(1/3)(1 + Un + U_n-1²)
Ca s'arrange bien...

oui merci a tous mais c"est bon j'ai réussi à résoudre mon exercice

la suite est croissante positive convergente vers 1 et donc majorée.