Bonjour

tout ce que tu dis n'a hélas pas beaucoup de sens

la relation ~ ne s'utilise pas ainsi

on dit que un ~ vn ssi (un - vn) = o(un)

(et un = o(vn) ssi il existe en telle que en -> 0 et vn = un*en)

puis, tu ne trouveras pas d'équivalent de tan(n) quand n tend vers +infini, et surement pas n.
Es tu sûr de ton énoncé ? Tel qu'il est posé, il ne veut pas dire grand chose.

Merci de ta réponse; Mon énoncé demande d'étudier la limite en 0; Et le développement limité de tan en 0 commence bien par n donc ça devrait marcher; ?

Quelqu'un pourrait me guider vers la bonne voie de résolution ?
J'ai un peu de mal à savoir comment conclure en dehors des cas du test de Cauchy, de d'Alembert ...

L'énoncé n'a pas de sens (convergence de la série en 0).


Si c'est la limite en 0 qu'il faut calculer, alors Tan(x) tend vers 0 et Ln(1+n^a) tend vers 0 si a non nul et vers Ln(2) sinon

D'accord, et si on étudie la série de terme genéral

ln(1+(1/x)^a)-tan(1/x)  (et donc là, quand x tend vers l'infini)

?

Je préfère ca...

Tu veux étudier la convergence de la série. Donc une condition nécessaire, c'est que le terme général tende vers 0 donc nécessairement, a>0.

On écrit :

Tan(1/x)=x^-1+O[x^-3]

Ln[1+(1/x)^a]=x^-a-1/2 x^-2a+1/6+x^-3a-1/24 x^-4a+O[x^-5a]


Si a>1, u_n=x^-1+x^-a+o(x^-a) et donc la série diverge

Si a=1, u_n=O[x^2^] et la série converge

Sinon, si a<1, on conclut (apres calculs) que la série diverge

Merci matiassse,

Mais pour le développement de ln(1+x^-a), ne serait-ce pas plutôt :

ln(1+x^-a)=x^-a-(1/2)x^-2a+(1/3)x^-3a-(1/4)x^-4a + O(x^-5a

En ce qui concerne la distinction des cas, qu'est-ce qui permet de conclure ? Merci encore

oui en effet pour le développement du log

Ce qui permet de conclure c'est le critère de riemann

Si a>1, un=O(1/n) diverge, donc la série diverge

Si a=1, un=O[1/n^2] donc converge

et si a<1, il y a une comparaison a faire et le critère de riemann permet de conclure

Je ne connais pas vraiment le critère de Riemann et je ne suis pas très au point sur les grands O donc si tu pouvais détailler ce que ça signifie... Ce serait vraiment très sympa !

Et je ne vois pas très bien d'où vient le O(1/n²) dans le cas a=1...

le critère de Riemann est fondamental pour l'étude des séries. Cela te permet de donner la nature d'une série du type

Si >1, la série converge
Si 1, la série diverge


Sur un développement limité, ce critère ce révèle très utile :
si tous les termes du DL sont d'ordre strictement tous en n^-a avec a>1, alors la série converge

Si il y a par exemple un=a/n+b/n^2+o(1/n^2), comme, b/n^2 et o(1/n^2) convergent, et 1/n diverge, alors la série un diverge.

Si a=1,

Tan(1/x)=x^-1+O[x^-3]

Ln[1+(1/x)^a]=x^-1-1/2 x^-2+O[x^-3]

et un=Tan(n^-1)-Ln(1+n^-1)=-1/2n^2+O[1/n^3]=O[1/n^2]

ce qui permet de dire que la série un converge

Dans ton exemple, comment savoir si c'est la divergence ou la convergence qui l'emporte ?

Et le O, y-a-t-il une astuce pour bien le comprendre ? f=O(g), ça signifie que f est contrôlée au delà d'un certain rang, c'est bien ça ?

(Merci encore)

J'ai oublié le "par g" ---> contrôlée par g

Si tu as convergence + divergence, c'est la divergence qui l'emporte.

En effet, la série convergente tend vers l, et la divergente vers l'infini, c'est une simple somme de limites.

Par contre, la somme de deux séries divergentes n'est pas forcément divergente :
1/n + -1/n =0 qui converge

Pour le grand O, écrire qu'un élement un est g(x)=O[f(x)], cela signifie que f/g est borné

Par exemple, (pour des O en O)
5x^-2=O[x^-2], 5x^-2+x^-3+x^-6=O[x^2^]

Voir aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique

D'accord. Merci Beaucoup matiassse. T'es en quelle année de Licence ?

3ème année

Moi en 2eme année

Pour le dernier cas a<1, je ne vois pas trop quelle comparaison effectuer, surtout qu'il y a une alternance des signes dans le développement du ln. Quelqu'un pourrait m'aiguiller ? Merci

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