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Evidence....
Bonjour à tous,
J'ai un exercice à faire qui me parait tellement simple que je pense que je me suis trompé ... lol
Voilà l'énoncé:
f est une fonction qui est définie sur A etant une partie de R. Vrai ou faux???
1°)Si f est croissante alors f n'est pas décroissante.
2°)SI f n'est pas croissante alors elle es décroissante.
3°)Si f est strictement positive alors f n'est pas négative ou nulle.
4°)SI f n'est pas nulle alors il existe une fonction g definie sur A tel que fg=1.
5°)f est soit strictement positive,strictement négative,soit nulle.
pour la 1°):Faux exemple la fonction constante...
2°):Vrai si elle n'est pas croissante alors elle n'est pas strictement croissante donc elle est forcément décroissante.
3°):Vrai je ne sais pas comment le prouver c'est trivial vu que il y a l'inégalité stricte...non???
4°):Vrai:je ne sais pas trop comment l'expliquer comme f n'est pas nulle on peut diviser par f et donc g = 1/f...
5°):Vrai:Une fonction est forcément strictement positive strictement négative ou nulle...Comment le prouver??
Je ne sais pas trop si je peu xlaisser ca sans aucune démonstration mais le tout me parait trivial...
Un peu d'aide... Ai-je bien raisonner??est-ce les bonnes réponses ? ou suis-je tombé dans les pièges????
Merci d'avance
Déjà pour la 2), tu dois sûrement connaître des fonctions qui ne sont ni croissante ni décroissante.
Pour la 4), dire que n'est pas nulle ne signifie pas forcément que
ne s'annule pas un point.
Pour la 5), tu dois connaître aussi des fonctions qui ne sont ni strictement négative, ni strictement positive, ni nulle.
Cherche parmi les fonctions usuelles (tu dois absolument connaître leurs graphes)
ha oui mais oui bien sur ...
pour la 2) je peux prendre par exemple x² elle est définie sur R mais elle est ni croissante ni décroissante...
Pour la 4) je peux prendre par exemple x²-5x +1 alors ma fonction n'est pas nulle mais elle s'annule en deux points alors il est impossible de diviser par f car elle s'annule ...
Pour la 5) ben sin x par exemple...
(en fait quand moi je faisais mes raisonnements je raisonnais par sur la fonction en particulier mais sur des parties de la fonction ...)
c'est bon ce que j'ai écris là ??
je suis d'accord avec toi.
Tu peux d'ailleurs remarquer que x-->sin(x) est un contre-exemple pour 2) 4) 5).
Et plus simplement pour la 4), tu peux prendre f : x-->x² , car pour toute fonction g,
ouais d'accord je vois merci beaucoup^^
maintenant j'ai un autre problème je me permets de le mettre ici pour que tu me donnes un coup de main...
Soit D un sous ensemble de R soit f et g deux fonctions definies sur D. on suppose D majoré et f croissante.Peut-on en déduire que f est majoré? meme question si d a un plus grand élément??
alors j'ai ecris :
quelque soit x appartenant a D alors il existe M appartenant a R tel que x 
M.
f est croissante donc quelque soit x et y appartenant a R, on a x<y implique f(x)f(y).
je prends le morceau xM
Je passe par la croissande de f
et je trouve
f(x)f(M) elle est donc majorée Seulement je ne suis pas sur de pouvoir utilise la croissance de M car jai une inégalité large et non strict...
Comment je peux faire???
rien ne te dit que tu peux trouver un majorant M de D qui est dans D (seulement dans IR),
et donc n'est peut-être pas définie en M.
Prends par exemple et la fonction
,
admet un majorant (par exemple
), mais
n'est pas majorée.
Je te laisse chercher pour le cas où admet un plus grand élément.
En revanche si D admet un plus grand élément alors le majorant de D appartient à D donc f est forcément définie en ce majorant f étant définie en ce majorant et étant croissante alors f(x)f(M) c'est bien ca ???
oui c'est bien ça, mis à part que dans ce cas on dit "plus grand élément" à la place de "majorant" (un plus grand élément de D est un majorant particulier de D)
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