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EVN - Suites de Cauchy

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 21-10-08 à 18:51

Bonsoir, un nouvel exercice pour lequel je n'arrive pas à faire la dernière question :

On se place sur B=\{x\in E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\exists M\in\mathbb{R}_+,\forall n\in\mathbb{N},\quad |x_n|<M\} avec la norme ||.||_{\infty}. Soit une suite (x^k)_{k\ge 0} d'éléments de B. On a x^k=(x^k_n)_{n\ge 0}

a) Si (x^k)_{k\ge 0} converge vers un élément x de B. Alors pour chaque n, x^k_n tend vers x_n. (OK)

b) Si (x^k)_{k\ge 0} est de Cauchy. Alors pour chaque n, (x^k_n)_{k\ge 0} est de Cauchy. (OK)

c) Si (x^k)_{k\ge 0} est de Cauchy. Montrer qu'il existe un élément x de E tel que :

\forall n\in\mathbb{N},\quad x_n^k\to x_n

Montrer que x appartient à B et que x^k\to x.

Voila, je bloque sur cette dernière question.

Merci.

Posté par
romure : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 19:50

Bonsoir,

l'existence d'un tel élément x dans E découle de b) et du fait que IR est complet.

Pour montrer que x\in B et que x^k\rightarrow x relativement à la norme ||.||_ {\infty},

tu peux partir du fait que comme (x^k)_k est une suite de Cauchy, pour tout \varepsilon>0, il existe N\in \mathbb{N} tel que

k,l\geq N\qquad \Longrightarrow\qquad \sup_{i\in \mathbb{N}}\ |x_n^k - x_n^l|\leq \varepsilon

et faire tendre l vers l'infini.

Posté par
romure : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 19:55

je voulais dire

k,l\geq%20N\qquad%20\Longrightarrow\qquad%20\sup_{n\in%20\mathbb{N}}\%20|x_n^k%20-%20x_n^l|\leq%20\varepsilon.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 20:47

Bonsoir, romu.

Merci, j'ai terminé la question.

Cet exercice nous permet donc de conclure que \mathcal{B} est complet puisque toute suite de Cauchy à éléments dans B converge dans B.

Seulement, on demande en question subsidiaire si ce résultat reste vrai dans le cas où on prend comme nouvelle norme : ||x||=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|x_n|}{2^n}.

Pour moi la réponse est non puisque la limite n'est pas continue avec cette norme. Est-ce que cette justification est correcte (suffit) ?

Merci.

Posté par
romure : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 20:58

Euh de la continuité de quelle application? j'ai pas bien suivi là

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 21:00

L'application suivante n'est pas continue pour la nouvelle norme :

\varphi \quad : \quad x\in(B,||.||)\quad\to\quad(\lim_{n\to\infty}x_n)\in\mathbb{R}

Posté par
romure : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 21:34

oui ça pourrait peut être servir (je ne connais pas la réponse), mais il faut développer davantage,
a priori il faut exhiber une suite de Cauchy non convergente relativement à cette norme.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Suites de Cauchy 21-10-08 à 21:36

Ouep, je vais tâcher de réfléchir à ça...

Merci !


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