Bonjour, zerottrond

Pour la première question, étudies la fonction


(dérivée, tableau de variation, limites aux bornes)

Merci , je vais le faire et voir si je m'en sors pour la suite

salut

en fait tu sais que tan réalise une bijection de chacun de tes intervalles dans R... donc tu as juste à étudier la fonction g(x)=x^4/(x^3-1)

Je ne suis pas d'accord, carpediem

dans R⁺ pardon (ou dans R^- peut-être
d'ailleurs il n'y a même pas besoin d'étudier g pour afirmer l'existence d'une solution vu que g n'est pas définie que en 1

Pour l'existence, d'accord.
Mais l'énoncé demande aussi l'unicité de la solution

tout à fait et c'est la qu'il faut se fatiguer (un peu):
mais mis à part "au début" !! g est stirctement croissante ce qui va assurer l'unicité

même pas besoin

x^3 est strictement croissante
x est strictement croissante.
Pourtant l'équation   x^3=x admet 3 solutions.

sur R oui mais sur des intervalles d'amplitude 1?

ou si tu préferes d'amplitude 0,5
car içi tu as une infinité de sol mais sur chacun des intervalles elle est unique...

Le "contre-exemple" que je t'ai donné montre qu'il n'est pas suffisant de montrer que f et g sont croissantes pour en déduire que l'équation  f(x)=g(x) admet une unique solution (même en supposant que f et g sont C-infini sur l'intervalle considéré).