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Exercice
Cet exercice établit l'existence de l'orthocentre, vous ne pouvez donc pas l'utiliser. On donne un triangle ABC.
1) Démontrez que pour tout point de M du plan on a:
MA.BC+MB.CA+MC.AB=0
2)Démontrez que les hauteurs issues des sommets B et C se coupent en un point H tel que:
HB.CA=HC.AB=O
3)Démontrez que HA.BC=0 puis que H est sur la hauteur issue de A.
Voici l'ennoncé! Donc pas trop compris comment faire cet exo, si on pouurait m'aider
Tout ce qui suit est en vecteurs:
1)
MA = MB + BA
MA.BC+MB.CA+MC.AB = (MB + BA).BC + MB.CA+MC.AB
= MB.BC + BA.BC + MB.CA + MC.AB
= MB.(BC + CA) + BA.BC + MC.AB
= MB.BA + BA.BC + MC.AB
= BA.(MB + BC) + MC.AB
= BA.MC + MC.AB
= MC.(BA + AB)
= 0.
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2)
Supposons un triangle ABC et H le point de rencontre de 2 de ses hauteurs(par ex celles issues de B et de c).
Comme HB est perpendiculaire à CA, on a : HB.CA = 0 (1)
Comme AB est perpendiculaire à HC, on a : HC.AB = 0 (2)
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3)
Par la première partie de l'exercice, on a:
HA.BC+HB.CA+HC.AB = 0
avec (1) et (2) ->
HA.BC = 0
Et donc BC est perpendiculaire à HA.
Et donc HA est la direction 3ème hauteur du triangle ABC.
Les 3 hauteurs du triangle ABC passent donc par un même point H. Les 3 hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.
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Sauf distraction. 
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