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exercice

Posté par
jeromedu59 14-12-08 à 15:47

bonjour !
je dois calculer In=k=0[/sup]n-1sin(+(k)/n)
à l'aide de (X+1)[sup]n-exp(2in)
merci d'avance !

Posté par
jeromedu59re : exercice 14-12-08 à 15:50

In=*k=0n-1sin(+(k/n) avec (X+1)n-exp(2in)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice 14-12-08 à 20:07

Bonjour,

Exprime les racines du polynôme.
Puis utilise les relations coefficients/racines pour exprimer leur produit.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice 14-12-08 à 20:30

Quelle sont les racines de 3$P(X)=(X+1)^n-e^{2in\theta} ?

Ce sont les racines n-ièmes de 3$e^{2in\theta}, privées de 1, à savoir les :
3$\alpha_k=e^{i\left( \frac{2n\theta}{n} + k\frac{2\pi}{n} \right)}-1,\quad 0\le k\le n-1

Exprimons-les sous forme trigonométrique :
3$\forall k\in|[0;n-1]|,\quad \alpha_k = e^{i\left( 2\theta + k\frac{2\pi}{n} \right)}-1

3$\forall k\in|[0;n-1]|,\quad \alpha_k = e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)} \left( e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)} - e^{-i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)} \right)

3$\fbox{ \forall k\in|[0;n-1]|,\quad \alpha_k = e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)}\; 2i\; \sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right) }

Le coefficient constant de P(X) est 3$1-e^{2in\theta}=-e^{in\theta}\; 2i\;\sin\left(n\theta\right)

Le coefficient de plus degré de P(X) est 1

On applique les relations coefficients-racines :
3$\Bigprod_{0\le k\le n+1}\alpha_k = (-1)^n\;\frac{-e^{in\theta}\; 2i\;\sin\left(n\theta\right)}{1}

3$\Bigprod_{0\le k\le n+1} \left( e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)}\; 2i\; \sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right) \right) = -(-1)^n\;e^{in\theta}\; 2i\;\sin\left(n\theta\right)

3$2^n \; i^n \; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)}\right) \; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)\right) = -(-1)^n\;e^{in\theta}\; 2 \; i \; \sin\left(n\theta\right)

Or 3$\Bigprod_{0\le k\le n+1}e^{i\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)}=e^{in\theta}\;e^{i\frac{\pi}{n}\frac{n(n-1)}{2}}=e^{in\theta}\;i^{n-1}

Donc :
3$2^n \; i^n \; e^{in\theta}\;i^{n-1} \; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)\right) = -(-1)^n\;e^{in\theta}\; 2 \; i \; \sin\left(n\theta\right)

On multiplie chaque membre par i :
3$2^{n-1} \; i^{2n} \; e^{in\theta}\; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)\right) = (-1)^n\;e^{in\theta}\; \sin\left(n\theta\right)

3$2^{n-1} \; (-1)^n \; e^{in\theta}\; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)\right) = (-1)^n\;e^{in\theta}\; \sin\left(n\theta\right)

3$2^{n-1} \; \left(\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right)\right) = \sin\left(n\theta\right)

3$\fbox{\Bigprod_{0\le k\le n+1}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(n\theta\right)}{2^{n-1}}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : exercice 02-01-10 à 21:48

Faute de frappe il me semble :
3$\fbox{\Bigprod_{0\le k\le \fbox{n-1}}\sin\left(\theta+k\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(n\theta\right)}{2^{n-1}}}


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