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Exercice 4 Liban Bac S 2013

Posté par
Gommee 09-06-13 à 03:35

Bonsoir à tous j'aurais aimé qu'on m'éclaircit sur l'exercice 4 question 3.a du BAC Liban de cette année

Démontrer tout entier naturel n , 0 < Vn < 3
La partie Initialisation pas de problème mais dans l'hérédité j'ai un peu de mal à comprendre:

Hérédité
Supposons 0 < Vn < 3 vraie
Montrons que 0 < Vn+1 < 3 vraie

0 < vn < 3
-3< -vn < 0
3 < 6-vn <6
1/6 < 1/6-vn < 1/3

et c'est à là que je bloque j'ai du mal à voir comment on passe de la ligne :
3 < 6-vn <6
à
1/6 < 1/6-vn < 1/3

Quelqu'un voudrait-il bien m'expliquer s'il vous plait ?

Posté par
themagnificre : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 06:05

Bonjour Gommee.
Tu as mal écrit l'inégalité.

Citation :
1/6 < 1/6-vn < 1/3
équivaut à \frac{1}{6}<\frac{1}{6} - v_n<\frac{1}{3}. Tu devrais plutôt écrire \frac{1}{6}<\frac{1}{6 - v_n}<\frac{1}{3} ou 1/6 < 1/(6-v_n) < 1/3. C'est pour cela que tu ne trouvais pas le résultat.

Posté par
alb12re : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 06:52

salut, parce que la fonction x->1/x est strictement décroissante sur ]0;inf[

Posté par
Gommeere : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 09:09

Bonjour à vous deux et merci de m'avoir répondu
"themagnific" Oui c'est vrai j'ai mal rédiger mon inégalité. Mais j'avoue que je reste encore bloqué :/ peut être y a t-il quelque chose que j'ai du mal à voir ?
"alb12" Tu pourrais m'expliqué avec un peu plus de détails comment va intervenir le fait que x->1/x soit décroissante sur [0,infini] dans ma récurrence ? j'ai vraiment du mal à comprendre .

Posté par
alb12re : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 09:19

si 0<a<x<b alors 1/b<1/x<1/a

Posté par
themagnificre : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 10:24

Comme tu as opté pour le raisonnement par récurrence, alors il faudra encadrer v_{n+1} pour finir la démonstration. Ce qui te bloque est le passage de 3 < 6 - v_n < 6 à \frac{1}{6}<\frac{1}{6 - v_n}<\frac{1}{3}. On sait que si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b alors on a \frac{1}{b} < \frac{1}{a}. C'est cette inégalité que nous allons utiliser. D'abord je vais décomposer 3 < 6 - v_n < 6. "3 < 6 - v_n < 6" équivaut à "3 < 6 - v_n et 6 - v_n < 6". Donc on a \frac{1}{6 - v_n}<\frac{1}{3} et \frac{1}{6}<\frac{1}{6 - v_n}. Ainsi, on a \frac{1}{6}<\frac{1}{6 - v_n}<\frac{1}{3}.
J'ai utilisé cette décomposition pour t'expliquer comment le résultat est obtenu. Voici ce que tu dois normalement écrire sur ta copie pour l'hérédité:
Supposons que 0 < v_n < 3 soit vraie pour un certain n et montrons qu'on a aussi 0 < v_{n+1} < 3.
       0 < v_n < 3    -3 < -v_n < 0
                       6 -3 < 6 -v_n < 6 + 0
                       3 < 6 -v_n < 6
                       \frac{1}{6}<\frac{1}{6 - v_n}<\frac{1}{3}
                       \frac{1}{6}< v_{n+1} <\frac{1}{3}.
0 < \frac{1}{6} et \frac{1}{3} < 3.
Ce qui démontre que 0 < v_{n+1}< 3.
On conclut que pour tout entier naturel n, on a 0 < v_n < 3.

Posté par
Gommeere : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 14:51

Eh bien déjà je vais vous dire à tout deux encore une fois merci, j'ai compris en l'espace de quelques minutes ce qu'on a tenté de m'enseigner en 2-3heures. Merci beaucoup d'avoir détaillé j'avais souvent des problèmes pour comprendre ce genre de passage et je me contentais finalement de me dire que c'était comme ça .
J'oubliais de préciser que :
u_{n+1}  = \frac {9} {(6-vn) }

donc arrivé à :

\frac {1}{6}<\frac{1}{6-u_n}<\frac{1}{3}

Je fais :

\frac {9}{6}<\frac{9}{6-u_n}<\frac{9}{3}

\frac {3}{2}<\frac{9}{6-u_n}<3 \\ \\ \\ 0<\frac {3}{2}
et là je me demande comment rédiger avec 3 est ce que j'écrit : 3=3 ? ou bien 33 ? ou y a t-il une autre manière de rédiger cela ?

Posté par
alb12re : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 15:10

ce sont des implications
si 3/2<A<3 alors 0<A<3 terminé !

Posté par
Gommeere : Exercice 4 Liban Bac S 2013 09-06-13 à 20:13

Ah ! Eh bien merci pour cette précision !


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