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Exercice autour de Ln (x) / x

Posté par
Kboum 14-12-11 à 09:05

Bonjour,
Je suis sur cet exo et, j'avoue, je cale un peu...
En voici l'énoncé :
Etudier et tracer f(x) = Ln(x)/x (je l'ai fait)
Trouver tq : 1x et 0yf(x).
pour que l'aire du domaine soit égale à l'unité d'aire : j'ai trouvé = e(1/e).
3) déterminer M = Sup n1/n
                           n*

Je trouve, en passant par la fonction 'Ln', M = e1/e mais cela ne répond pas à la question, on n'est pas dans .

Une idée??

4) Résoudre xy=yx. Avec 0<x<y, et x et y entiers.
Je vois (2,4) comme solution mais pas l'ensemble des solutions naturelles

5) Trouver toutes les sols de l'équa diff x*+ ;
xy'(x) + y(x) = 1/x. Où y est fonction réelle de x.

Merci de prendre le temps de m'orienter vers une solution.

Posté par
MatheuxMatoure : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 09:18

bonjour

3) si tu connais sup{x1/x ; x}
il doit être aisé d'en déduire sup{n1/n ; n}
(le max pour les réel étant x=e ... le max pour les entier ne peut être que 2 ou 3 puisque 2<e<3 et que ta fonction croît sur [1;e] et décroit après e

4) f(x)=f(y)=K ... donc 2 points d'intersection de ta courbe avec la droite horizontale de hauteur K... d'où K entre 0 et max(f)...
si tu choisis x<y  tu as donc 1<x<e

ce qui ne te laisse que 1 possibilité : x=2 ...

5) méthode habituelle (ESSM) et regarde voir si par hasard f ne serait pas solution particulière

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 09:20

Bonjour,

J' ai \alpha =e^{\sqrt{2}}

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 09:22

Bonjour MatheuxMatou

Posté par
MatheuxMatoure : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 09:26

bonjour cailloux... j'ai pas vérifié ce qui précédait...
je te laisse continuer s'il revient !

Posté par
KboumExercice autour de Ln(x) / x 14-12-11 à 10:59

Bonjour MatheuxMatou et Cailloux,
Merci pour votre intervention d'abord...
Effectivement, j'ai trouvé =e2...
Pour l'équa diff :
Je trouve y=1/x +e(1/x - Lnx)-(1+e) comme solution particulière avec la condition f(1)=0.

Qu'en pensez-vous?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 11:12

MatheuxMatou te l' avait indiqué:

f définie par: f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x} est solution particulière.

Posté par
alainpaulre : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 11:28

Bonjour,


e^{1/x - lnx}=e^{1/x + ln(1/x)}= ..


Observe xy'(x) + y(x) ,les deux termes pourraient être
de même degré en x, tu peux écrire :
x\times y'(x) + y(x)=(x\times y(x)+c)'

A suivre,


Alain

Posté par
KboumExercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 16:35

Bonjour Alain (Alias alainpaul),
Pourrais-tu développer un peu plus ton raisonnement? pour que je suive...
Merci.

Posté par
alainpaulre : Exercice autour de Ln (x) / x 14-12-11 à 17:20

Oui,

Ma remarque concerne le 5) equadiff ,
es-tu d'accord sur
x\times%20y%27(x)%20+%20y(x)=(x\times%20y(x)+c)%27?
c une constante.
Si oui,
(x\times%20y(x)+c)%27=ln(x)'=1/x
x\times%20y(x)+c =ln(x)


Alain

Posté par
KboumExercice autour de Ln(x) /x 15-12-11 à 09:17

Bonjour Alain,
Merci pour ta réponse. Effectivement je vois le cheminement, il est plus élégant...
Bonne journée

KB

Posté par
alainpaulre : Exercice autour de Ln (x) / x 15-12-11 à 10:48

Bonjour,

D'une manière générale:
y+(px)y'=(p\times x^{(p-1)/p})\times (yx^{1/p})'

Il est ainsi possible de résoudre une équation telle que:
y+3x\times y'= x^2+1



Alain

Posté par
KboumExercice autour de Ln (x) / x 15-12-11 à 13:18

Royale la précision ;
Merci

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