Niveau Licence Maths 1e ann

Exercice Cauchy-Schwarz

Posté par
gbsatti 20-05-09 à 00:27

Bonsoir à tous !

Je révise l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un exercice intéressant mais (comme c'est souvent le cas)
je suis vite coincé
Si quelqu'un pouvait juste me pousser un tout petit peu je pense que j'arriverai au bout facilement
Voici l'énoncé :

Soit f:[0,1] une fonction continûment dérivable de dérivée f' et vérifiant f(0)=0. On pose :

$4$F(x)=\int_0^{x} |f(t)f'(t)| dt$ ; $4$G(x)=\frac{x}{2}\int_0^{x}f^2'(t)dt$

1) Montrer que F et G sont dérivable sur [0,1] et calculer leurs dérivées.

J'ai $3$F'(x)= |f(t)f'(t)| dt$
et pour G j'ai appliqué u'(x)v(x)+v'(x)u(x) car je ne connais pas la valeur de $3$\int_0^{x}f^2'(t)dt$
donc :
$3$G'(x)=\frac{1}{2}\int_0^{x}f^2'(t)dt+\frac{x}{2}f^2'(t)$

2)En utilisant la formule de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout x[0,1] on a:

$4$|f(x)|=|\int_0^{x}f'(t)dt|$ $4$ \sqrt{x}(\int_0^{x}f^2'(t)dt)^{\frac{1}{2}}$

J'ai fait ça :
D'après Cauchy-Schwarz $4$|\int_0^{x}1 . f'(t)dt|^2$ $4$(\int_0^{x}1dt)(\int_0^{x}|f'(t)|^2dt)$
et en faisant la racine des deux membres j'ai trouvé le résultat.

3)Sachant que pour tout y et z on a :
$4$|yz|$ $4$\frac{1}{2}(y^2+z^2)$
établir pour tout x[0,1] l'inégalité $4$F'(x)$ $4$G'(x)$

J'ai essayé d'appliquer la formule pour $4$|f(t)f'(t)|$ $4$\frac{1}{2}(f(t)^2+f'(t)^2)$
Ensuite d'injecter les valeur de G'(x) sans succès c'est la que je bloque..

4) Montrer finalement que :
$4$F(x)=\int_0^{1} |f(t)f'(t)| dt$ $4$\frac{1}{2}\int_0^{1}f^2'(t)dt$

Voila merci d'avance

Posté par re : Exercice Cauchy-Schwarz 20-05-09 à 02:56

$3$G'(x)=\frac{1}{2}\int_0^{x}f^2'(t)dt+\frac{x}{2}f^2'(t)$
petite erreur à ce niveau c'est :
$3$G'(x)=\frac{1}{2}\int_0^{x}f^2'(t)dt+\frac{x}{2}f^2'(x)$
ensuite il faut utiliser l'inégalité que l'on vient de démontrer
$4$%20|f(x)|=|\int_0^{x}f'(t)dt|<=\sqrt{x}(\int_0^{x}f^2'(t)dt)^{\frac{1}{2}}$
ensuite on majore
|f(x)f'(x)|
en posant $y=\sqrt x|f'(x)|$ et z= $\sqrt{\int_0^{x}f^2'(t)dt}$
et ça marche tout seul

Posté par re : Exercice Cauchy-Schwarz 20-05-09 à 20:30

merci pour la 3)
pour la dernière question je vois le truc mais je ne sais pas comment le montrer:
$4$G'(x)\le F'(x)$ $4$|f(x)f'(x)|\le\frac{1}{2}\int_0^{x} f^2'(t) dt +\frac{x}{2}f^2'(x)$ on voit que si on remplace x par 1 on est près du résultat mais c'est le terme $4$\frac{x}{2}f^2'(x)$ qui m'embête. Et si je ne dis pas de bêtises on ne peut pas dire
$4$\frac{1}{2}\int_0^{x} f^2'(t) dt +\frac{x}{2}f^2'(x)\le\frac{1}{2}\int_0^{x} f^2'(t) dt$ puisque sur [0,1] $4$\frac{x}{2}f^2'(x)\ge0$ .
Est-ce que j'ai le droit de partir de ce que l'on demande et de montrer que c'est vrai c'est à dire:

$4$\int_0^{1} |f(t)f'(t)| dt\le\frac{1}{2}\int_0^{x} f^2'(t) dt$

$4$\int_0^{1} |f(t)f'(t)| dt\le\frac{1}{2}\int_0^{x} f^2'(t) dt +\frac{x}{2}f^2'(x)$

car sur [0,1] $4$\frac{x}{2}f^2'(x)\ge0$

$4$F'(1)\le G'(1)$

ce qui est vrai

Posté par re : Exercice Cauchy-Schwarz 21-05-09 à 01:54

Citation :
Est-ce que j'ai le droit de partir de ce que l'on demande et de montrer que c'est vrai

je dirai oui si tu procedait en cherchant un equivalent de ce qu'on te demande

c'est à dire:

et je dis non pour ce qui suit ds ta demo car comme cela on peut montrer
1<0 puisque cela implique 1<0+2 qui est vrai !

ceci dit je ne vois pas non plus comment faire pour prouver cette inégalité

Posté par re : Exercice Cauchy-Schwarz 21-05-09 à 10:35

D'accord, ce n'est pas grave je vais laisser tomber cette question difficile, merci en tout cas !

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Exercice Cauchy-Schwarz

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths