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Exercice d'application
Bonsoir,
En attente d'une réponse à mon autre message, je continue toujours à faire des maths (et oui 
) et je vous sollicite pour m'aider un peu sur cet exercice :
Déterminer toutes les applications f et g dérivables de R dans R telles que pour tous x, y, on ait
f(x+y)=f(x)+f(g(y))
g(x+y)=g(x)+g(f(y))
Je ne vois pas comment faire, j'essaye des combinaisons mais rien ne viens...
Bonsoir,
En fixant y et dérivant par rapport à x j'obtiens quelque chose d'intéressant il me semble que c'est une bonne piste
Ceci dit j'obtiens f'(x+y)=f'(x) et de même pour g...Bonjour,
Tu obtiens f'(x+y)=f'(x) quels que soient x et y réels
en prenant x=0 tu vois que f'(y) = f'(0) pour tout y réel. Donc f' est constante
De même g' est constante.
ensuite en intégrant tu trouves que f et g sont des fonctions affines
A ce stade on a prouvé que si f et g vérifient les équations, alors ce sont toutes deux des fonctions affines.
Il reste à déterminer si tous les couples de fonctions affines (x->ax+b,x->cx+d) vérifient les équations, ce qui n'est pas le cas il me semble. Je te laisse faire le calcul.
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