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Exercice d'équivalences

Posté par
Foreverson 30-01-09 à 17:26

Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour savoir si mon raisonnement est bon sur un exercice en rapport avec les équivalences :

x+

Voilà l'expression : \sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} - x.sqrt{2}

Première étape :

\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}  ~ 1+(1/2x4)
donc x^2.\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} ~ x² + (1/2x²) ~ x²
\sqrt{x^4+1} ~ x²

car sqrt{x^4+1} = x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}

Deuxième étape :

\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} ~ \sqrt{x^2+x^2} = x2

Troisième étape :

Comme \sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} ~ x2, alors

\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} - x.sqrt{2} ~ 0

FIN

Bon, ça me semble bizarre de dire qu'une expression est équivalente à 0...

Pouvez-me dire si j'ai fait des erreurs, et si oui, lesquelles ?

Merci d'avance !

Posté par
infophilere : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 17:51

Bonjour ;

C'est même très faux

Ton erreur provient du fait qu'on ne peut en général pas composer des équivalents.

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 17:54

Comment faire pour trouver l'équivalent de mon expression si je n'ai pas le droit de faire ce que j'ai fait ?

Posté par
carpediemexercice d'équivalences 30-01-09 à 18:20

salut

...=[x²{1+(1+1/x4)}]

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 18:29

Citation :
...=[x²{1+(1+1/x4)}]


\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}

J'ai pas compris, faut que je fasse quoi là ?

Posté par
carpediemexercice d'équivalences 30-01-09 à 19:33

{...}2 en +

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:03

Bonsoir.

Comme souvent avec les radicaux, les expressions conjuguées donnent de bons résultats.

3$\textrm f(x) = \sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2} = \fra{(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2})(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2})}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}\\ \\ \\ = \fra{\sqrt{x^4+1}-x^2}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}} = \fra{(\sqrt{x^4+1}-x^2)(\sqrt{x^4+1}+x^2)}{(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2})(\sqrt{x^4+1}+x^2)}\\ \\ \\ = \fra{1}{(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2})(\sqrt{x^4+1}+x^2)}

Les équivalents du dénominateur sont simples à trouver.

Finalement :

3$\textrm f(x) \sim_{x\to{+\infty}} \fra{1}{4x^3\sqrt{2}}

Ce que l'on peut retrouver par les développements limités.

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:05

\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} serait équivalent à 2 en + ?

\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}} ~ \sqrt{2x^2}

Expliquez-moi s'il-vous-plaît

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:08

Merci de ta réponse raymond et du temps que tu m'as accordé, tu as dû en passer pour rédiger tout ça

Je pensais que la solution des radicaux n'aboutirait pas avec cette expression.

Merci grandement

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:08

Ce que tu as écrit est correct.

De plus, \sqrt{2x^2}=x\sqrt 2

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:09

Merci également à ceux qui se sont penchés sur le problème, c'est sympa

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:09

Bonne soirée. RR.

Posté par
carpediemexercice d'équivalences 30-01-09 à 20:39

lis-tu les symboles latex?

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 20:55

Oui, mais pourquoi cette question ?

Tu n'as rien écrit en laTex

Posté par
carpediemexercice d'équivalences 30-01-09 à 23:12

à chaque fois que tu me cites tu oublie le symbole   (racine carrée) ou tu fais des raccourcis

ce qui est 2 c'est 1+[1+1/x4]
donc ce que j'avais mis entre {} (accolades)

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 30-01-09 à 23:22

J'ai fait un bête copié-collé et j'ai oublié de remettre les symboles LaTex, mais on s'est compris, t'inquiète pas

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice d'équivalences 31-01-09 à 15:22

Bonjour à tous!

J'arrive après la bataille, et je vous fais confiance pour les calculs. Je voudrais seulement revenir sur

Citation :
Bon, ça me semble bizarre de dire qu'une expression est équivalente à 0...


Justement, en dehors de la fonction nulle, personne n'est équivalent à 0! L'énoncé même de ces exercices est en général ambigu! Donner un équivalent de f au voisinage de a: mais bon sang, c'est bien sûr f!

Donc même si c'est sous-entendu, on cherche dans une liste donnée d'avance, (genre des puissances, des produits de puissances et de logarithmes) une fonction g qui veuille bien vérifier f/g tend vers 1 au point considéré.

Comme il n'y a pas foule, je me suis laissée un peu aller...

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice d'équivalences 31-01-09 à 15:31

Bonjour Camélia.

Allez, laisse toi aller, pour une fois !

Avant de passer par les expressions conjuguées, je me suis lancé dans le développement limité, ce qui donne des calculs assez pénibles, mais qui montre la décomposition de f(x) sur "l'échelle" des (1/x)p

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice d'équivalences 31-01-09 à 15:35

Salut raymond

Posté par
Foreversonre : Exercice d'équivalences 31-01-09 à 16:03

Merci pour les précisions Camélia, et tu parles d'énoncé ambigu, le mien est clair, puisqu'on me demande un équivalent simple (donc différent en l'occurrence )

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice d'équivalences 31-01-09 à 16:20


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