Bonjour,

Excusez-moi. Voici donc le sujet dans sa totalité:


La désintégration des noyaux composant un corps radioactif est aléatoire mais est régie au niveau global par la loi suivante : le taux de variations du nombre N de noyaux en fonction du temps est proportionnel au nombre de noyaux.  On obtient donc :  ∆N = −λN ∆t  où λ est un nombre positif qui dépend de l'élément radioactif considéré (le taux d'accroissement est bien sûr négatif puisque N diminue).  
N est une fonction qui dépend du temps. Le nombre de noyaux est une fonction qui prend seulement des valeurs entières, mais dans la pratique ce nombre est très grand et on peut l'approcher par une fonction continue et même dérivable sur un intervalle I.  
En prenant la limite de ce quotient quand t tend vers 0 on trouve alors :  N '(t ) = −λN(t )  sur I, soit N ' = −λN , ou encore dN/dt = −λN comme on l'écrit aussi en Sciences Physiques.  Cette relation fait intervenir la fonction N et sa fonction dérivée, on dit qu'il s'agit d'une équation différentielle. On cherche à déterminer N(t ) en fonction de t, connaissant λ et le nombre initial N(0)  de noyaux.  Parmi les fonctions usuelles (polynômiales, rationnelles, trigonométriques, racine carrée), aucune ne vérifie une relation du type : f ' = −λf . Il est donc indispen- sable pour ce problème d'utiliser des nouvelles fonctions, les solutions des équations différentielles de la forme :  f '= kf et f (0)= y0 où k est un réel donné.  
On suppose qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur  R telle que f (0) = 1 et f ' = f (c'est-à-dire f '(t ) = f (t ) pour tout réel t).

1)En utilisant la fonction f, déterminer une fonction g définie et dérivable sur ffi telle que g ' = 3g et g(0) = 1.  
2) De même, déterminer une fonction h définie et dérivable sur  ffi telle que h' = 3h et h(0) = 0,2.  
3) En  supposant  que  le  nombre  initial  de  noyaux  est  égal  à  106   et  que λ = −0,003 et en utilisant la fonction f, trouver une fonction N définie et dérivable sur R telle que N '=-0,003 et N(0)=10^6

1. Soit g(t) = f(3 t), g(0) = f(0) = 1
g est une fonction dérivable sur R et g'(t) = 3 f'(3 t) or pour tout x réel, f'(x) = f(x) donc g'(t) = 3 f(3 t) = 3 g(t)

2. h(t) = 0,2 f(15 t) donc h(0) = 0,2 f(0) = 0,2
h est une fonction dérivable sur R et h'(t) = 0,2 × 15 f'(15 t) or pour tout x réel, f'(x) = f(x) donc h'(t) = 3 f(15 t) = 3 h(t)

3. Soit N(t) = 10 ⁶ f(a t)
N(0) = 10 ⁶ f(0) = 10 ⁶
N est une fonction dérivable sur R et N'(t) = 10 ⁶ × a f'(a t) or pour tout x réel, f'(x) = f(x) donc N'(t) = a × 10 ⁶ f(a t) = a × 10 ⁶ N(t)
a × 10 ⁶ = - 0,003 donc a = - 3 × 10 ^{- 9}

Merci beaucoup pour votre réponse, cependant je ne suis pas sûr d'avoir tout compris... C'est sûrement le raisonnement qui m'échappe: comment sait-on dès le départ que g(t)=f(3t)? Et je ne sais pas comment trouver g'(t).

Bonjour, ayant le même sujet à rendre je dois dire que je suis dépassée. Pourrait-on m'expliquer les réponses s'il vous plaît?