Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice de Maths Spécialité
Bonjour tout le monde,
J'ai un exo à faire en spé maths sur la diagonalisation de matrices 2x2.
C'est un exo de type Bac, qui se mélange avec les suites...
Voilà l'énoncé :
On considère la suite définie par : Un+2 = Un+1 + Un
et U1 = U0 = 1.
On pose Un = ( Un+1 )
( Un )
1.) Déterminer la matrice M telle que Un+1 = M*Un
2.) En déduire l'expression de Un en fonction de M et U0
3.)
a.) Montrer qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale telle que D = P^-1 M P
b.) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : M^n = P D^n P^-1
c.) Déterminer les coefficient de M^n.
4.) Exprimer Un en fonction de n.
Pourriez-vous m'aider et me donner des idées de départ, merci !
Bonne journée et bon week-end !
Bonjour,
1) On a :
donc
.
Ainsi : .
En t'aidant de la formule , tu peux arriver à déterminer la matrice M.
Je pense qu'il faut trouver 3 matrices : M, Un+1, et Un.
Et M = Un^-1 * Un+1.
M = ( x ) Un+1 = ( Un+1 + Un ) Un = ( Un+1 )
( y ) ( Un+1 ) ( Un )
Tu as :
.
avec une matrice 2*2 dont tu dois trouver ses coefficients.
Tu dois trouver les coefficients a,b,c et d tels que en faisant le produit, tu retombes sur la formule de l'énoncé : .
La 1ère ligne de la matrice M peut déjà être rempli : tu as :
. Tu peux donc facilement déterminer les coefficients a et b qui répondent à la question.
Idem pour la 2e ligne de la matrice M :
. A quoi doivent être égales c et d pour avoir l'égalité ?
Un+1 et Un sont au passage des vecteurs colonne 2*1 !!
Donc forcément la matrice M à chercher est de taille 2*2 (matrice carrée 2*2).
Merci fenanmat84 pour tes réponses.
Pour la 1ère ligne de la matrice M, j'ai :
Un+2 = a(Un+1) + Un*b
Or, Un+2 = Un+1 + Un
---> Un+1 + Un = a(Un+1) + b(Un)
Alors dans ce cas : a = b = 1
Mais pour la 2ème ligne je sais pas comment je peux commencer à faire pour trouver c et d avec : Un+1 = c*(Un+1) + d*Un
C'est correct si je dis simplement (je sais pas comment justifier...) que :
Un+1 = 1*(Un+1) + 0*Un
alors : c = 1 et d = 0
Pour la q2,
Comme on donne Un+1 = A*Un, ca veut dire que A est la raison de cette suite.
Alors Un = U0 x A^n
Voilà. C'est exactement ça.
a = b =1.
c=1
d=0.
Ainsi tu obtiens ta matrice carrée M : .
Question 2 : Attention c'est la matrice M pas A !!
Sinon le raisonnement est juste oui.
Ah d'accord. Merci Fenamat84.
Et oui, c'est la matrice M parce qu'en cours, on fait un exo avec un raisonnement de ce type et c'était la matrice A.
Donc, c'est bien : Un = U0 * M^n
Ensuite, pour la question 3, comment commencer ? Je sais pas comment on pourrait faire pour montrer cela...
3.)
a.) Montrer qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale telle que D = P^-1 M P
b.) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : M^n = P D^n P^-1
c.) Déterminer les coefficient de M^n.
4.) Exprimer Un en fonction de n.
Pourriez-vous m'aider svp.
Pour la 3a),
on a la matrice D = P^-1 A P
Mais il faut montrer l'existence de la matrice P. Comment commencer, donner moi des idées de départ svp ?
C'est bon j'ai fini de manger, je suis de retour !
Pour montrer qu'il existe une matrice P et une matrice D diagonale telle que : D = P^-1 M P, est-on obligé de travailler avec de vrais valeurs, comment le montrer ?
Peut-être que la matrice P = ( a c )
( b d )
il faut que je la sépare en 2 matrices A = ( a ) et B = ( c )
( b ) ( d )
Avec l'énoncé on a U1=U0=1
On a alors :
M*A = système d'équation :
1a + 1b = 1a
1a + 0 = b
Est-ce correct ?
Non, ça ne va pas.
Pose et
Écris que
Tu obtiendras un système de quatre équations à 6 inconnues.
D' abord, essaie de trouver ce système.
Oui, c' est bien ça.
remarque qu'en remplaçant par
et
par
, on obtient le système équivalent suivant:
Si , alors
et la matrice
n' est pas inversible.
Si , alors
et la matrice
n' est pas inversible.
Donc nécessairement et
On en déduit que et
sont solutions de l' équation
(1)
Si , on en déduit que
n' est pas inversible.
Donc nécessairement
Après avoir résolu l' équation , on a par exemple:
et
Notre système devient:
avec les valeurs de
et
fixées précédemment (donc système de 2 équations à 4 inconnues
)
On peut en choisir arbitrairement 2, par exemple
Du coup et
Donc
On est condamné à calculer :
3)b) On a donc d' où:
Relation que tu pourras utiliser pour démontrer par récurrence que:
3)c)
Je te laisse faire le calcul...
Annuler
connectez vous