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Exercice de maths TS

Posté par
Geoboss 11-10-07 à 18:17

Bon jour j besoin daide pour cette exercice, la fonction ets f : x-->x (1-x)
J'ai deja fais la derive ainsi que le tableau de signe.

2.a)Etudier selon les valeurs de t, le nombre de solution de l'equation f(x)=t
  b)Montrer que l'equation |x (1-x)| = 1/(33) admet trois solutions x1, x2 et x3 vérifiant :
-1/3 < x1<0 ; 0<x2<2/3 ; 2/3< x3<1

3.a) Pour k {1;2;3}, on pose alors uk=3/2 * (xk - 1/3)
Montrer qu'il existe un réel k [0;] tel que uk= cosk.

  b)Montrer que 1, 2 et 3 sont les solutions de l'équation cos(3) = 1/2 [0;]

c)Donner alors une valeur approchée à 10-5 de x1, x2 et x3

Posté par
Geobossre : Exercice de maths TS 11-10-07 à 20:38

up

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice de maths TS 11-10-07 à 22:51

Bonsoir,

2)a) On peut utiliser le graphique:

si t<0, une racine

si 0\leq t\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}, 2 racines

si t=\frac{2\sqrt{3}}{9}, une racine: \frac{2}{3}

si t>\frac{2\sqrt{3}}{9}, pas de racine.

2)b) |x\sqrt{1-x}|=\frac{1}{3\sqrt{3}}

si x<0, cette équation devient -x\sqrt{1-x}=\frac{1}{3\sqrt{3}}

soit x\sqrt{1-x}=-\frac{1}{3\sqrt{3}} qui admet une solution négative x_1 d' après la question précédente.

de plus sur ]-\infty,0] f est croissante

f(-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}

f(x_1)=-\frac{1}{3\sqrt{3}}

on a donc f(-\frac{1}{3}}<f(x_1)<f(0) donc -\frac{1}{3}<x_1<0

si x>0, cette équation devient x\sqrt{1-x}=\frac{1}{3\sqrt{3}} qui admet 2 solutions x_2 et x_3 d' après la question précédente.

On démontre de la même manière que pour x_1 que: 0<x_2<\frac{2}{3} et \frac{2}{3}<x_3<1

3)a) -\frac{1}{3}<x_1<0

-\frac{2}{3}<x_1-\frac{1}{3}<-\frac{1}{3}

-1<\frac{3}{2}(x_1-\frac{1}{3})<-\frac{1}{2}

donc \exists \theta_1\in[0,\pi] tel que: u_1=cos\,\theta_1

On démontre de même que: -\frac{1}{2}<u_2<\frac{1}{2} et \frac{1}{2}<u_3<1

Donc \forall k=1,2,3,\;\; \exists \theta_k tel que u_k=cos\,\theta_k

3)b) cos3\theta=cos2\theta cos\theta-sin2\theta sin\theta=(2cos^2\theta -1)cos\,\theta-2sin^2\thetacos\,\theta

cos\,3\theta_k=4cos^3\theta_k-3cos\,\theta_k=4u_k^3-3u_k=4\left(\frac{3}{2}\right)^3(x_k-\frac{1}{3})^3-\frac{9}{2}(x_k-\frac{1}{3})

cos\,3\theta_k=\frac{27}{2}(x_k^3-x_k^2+\frac{x_k}{3}-\frac{1}{27})-\frac{9}{2}x_k+\frac{3}{2}=\frac{27}{2}x_k^2(x_k-1)+1

or x_k^k(1-x_k)=\frac{1}{27} car x_k est solution de |x\sqrt{1-x}|=\frac{1}{3\sqrt{3}}

On en déduit que cos\,3\theta_k=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}

Finalement \theta_k est solution de cos\,3\theta=\frac{1}{2}

3)c) on en déduit que \theta_k=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}

Puis u_k=cos\,\theta_k pour k=1,2,3

et enfin x_k=\frac{2u_k+1}{3}

Posté par
Geobossre : Exercice de maths TS 12-10-07 à 16:56

Merci beaucoup !!

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice de maths TS 12-10-07 à 17:00

Bonjour,

De rien

Il y a une petite erreur de frappe vers la fin:

lire: or x_k^2(1-x_k)=\frac{1}{27} car x_k est solution ...


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