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Exercice de probabilité
Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour la premiere question d'un exercice de probabilité
voici l'énoncé :
Dans une urne, il y a 3 boules vertes, 4 boules jaunes et n boules rouges (n étant bien sur un entier naturel)
1) On tire 3 boules au harsard, sans remise. Montrez que la probabilité d'obtenir un tirage tricolore est pn=72n/[(n+7)(n+6)(n+5)]
le nombre d'issue possibles est assez simple a déterminer :
il y a n+7 boules au premier tirage on en retire une il y a donc n+6 boules ect ...
mais je sèche sur le nombre d'issues favorables comment démontrer qu'il y a 72n issues favorables?
Il y a 3+4+n = 7+n boules au total.
Proba de tirer 1 verte en première = 3/(7+n)
Il reste alors 6+n noules.
Proba de tirer 1 jaune en 2ème = 4/(6+n)
Il reste alors 5+n noules.
Proba de tirer 1 rouge en 3ème = n/(5+n)
--> proba de tirer dans l'ordre: vert, jaune, rouge = 3/(7+n) * 4/(6+n) * n/(5+n)
soit = 12n/[(n+7)(n+6)(n+5)]
Au lieu de tirer dans l'ordre vert, jaune, rouge, on pourait aussi, pour avoir un tirage tricolore, tirer dans un des ordres suivant:
VRJ
JVR
JRV
RJV
RVJ
Chacun de ses tirages ayant aussi une proba d'arriver de 12n/[(n+7)(n+6)(n+5)]
La proba d'avoir un tirage tricolore est donc 6 * 12n/[(n+7)(n+6)(n+5)] = 72n/[(n+7)(n+6)(n+5)]
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Sauf distraction. 
Bonjour,
Il faut tirer :
- d'abord une verte : 3 chances sur n+7
- puis une jaune : 4 chances sur n+6
- enfin une rouge : n chances sur n+5
finalement : 12n/((n+7)(n+6)(n+5))
... ou bien dans un autre ordre.
Le nombre d'ordre possible est 3! = 6
Reste donc à multiplier par 6. 
suite de l'énnoncé:
2) Calculer p(n+1)-p (n), et déduisez- en la valeur de n qui rend p(n) maximal.
J'ai fais le calcul, et j'ai trouvé: (-215n+5)/(n²+13n+40).Et je pense que c'est ça...
P(n+1) - P(n)
= 72(n+1)/[(n+8)(n+7)(n+6)] - 72n/[(n+7)(n+6)(n+5)]
= 72. [(n+1)(n+5) - n(n+8)]/[(n+8)(n+7)(n+6)(n+5)]
= 72. (n²+6n+5-n²-8n)/[(n+8)(n+7)(n+6)(n+5)]
= 72.(5-2n)/[(n+8)(n+7)(n+6)(n+5)]
Ah oui en effet j'étais très loin du compte...
Merci!
L'exercice compte encore deux questions (n'3 et 4) auxquelles je suis totalement bloqué.
3) On effectue le même tirage que précédemment, mais avec remise.
Montrez que la probabilité d'obtenir un tirage tricolore est qn= 72n/(n+7)^3
4) Étudiez sur [0;+inf[ les variations de la fonction f telle que f(x) = 72x/(x+7)^3 et déduisez-en la valeur maximale.
Merci, si possible de me faire un corrigé rapidement si possible.
salut
puisque le tirage s'effectue avec remise , alors il existe (n+7)^3 issues
pour le nbr de cas favorable on veut une boule de chaque couleur , ( attention , on tient compte de l'ordre )
le nbr de cas favorables est 3.4.n et on muliplie par 3! ( qui donne tout les ordres possibles)
ce qui fait P=3.4.n.3!/(7+n)^3=6.12.n/(n+7)^3=72n/(n+7)^3
pour la suite c'est de l'etude de fonction , ... ca reste du cours
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