Bonjour, je bloque un peu sur cet exercice...

J'en suis au 2.c mais je n'y arrive aps vraiment

p désigne un nombre premier. On recherche l'existence de couple d'entiers naturels non nuls
(x ; y) vérifiant l'équation E : x² + y² = p² .
1) On suppose que p = 2. Montrer que E n'a pas de solution.
Dans toute la suite on supposera p  2 et que le couple (x ; y) est solution de E.
2) Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a) Montrer que x et y sont de parités différentes.
b) Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c) En déduire que x et y sont premiers entre eux.
3) On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés, c'est à dire qu'il existe
deux entiers naturels u et v tels que p = u² + v² . Vérifier que le couple (|u² - v²| ; 2uv) est solution de E. Donner alors une solution de E lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.
4) On se propose de vérifier sur deux exemples que E n'admet pas de solution lorsque p
n'est pas somme de deux carrés.
a) Vérifier que 3 et 7 ne sont pas somme de deux carrés.
b) Montrer que les équations x² + y² = 9 et x² + y² = 49 n'ont pas de solution.


Une fois que x et y sont de parités différentes et non divisibles par p, peut-on deja deduire qu'ils sont premiers entre eux?