Salut
h'(x)=1
pour avoir h(x) tu as juste à intégrer ^^

b h(x) est donc constante donc de la forme h(x) = x+ a (avec a un réel)
Or h(0) = 0 donc a = 0
D'où h(x) = x +0 =x = f(sin(x))
c f(1) = f(sin(pi/2)) = pi/2
f(-1) = -pi/2
(il s'agit de la fonction arc sin )
3.a Et là les problèmes recommencent
k'(t) = sin'(f(sin(x)) x f'(sin(x)) x cos(x)
= cos(f(sin(x)) x 1 (voir question a )
Et là je sais pas quoi faire car ca voudrait dire que cos(f(sin(x)) = 1 ???
Merci

Salut

k(t) = sin(f(t))
k'(t)=f'(t)*cos(f(t))
=(1/(sqrt(1-t²)))*cos(f(t))

en posant t=sin(x),

k'(sin(x))=(1/(sqrt(1-sin²(x))))*cos(f(sin(x)))
=[1/cos(x)]*cos(h(x))=[1/cos(x)]*cos(x)=1

sauf erreur

On trouve bien le résultat avec ce que vous avez écrit mais moi je ne suis pas d'accord
k'(t) = (f(t))' x cos(f(t))
= t'  x f'(t) x cos(f(t))

Ce qui est totalement différent de ce que vous avez écrit à savoir k'(t) = f'(t) x cos(f(t))
Logiquement la dérivée d'une composée c'est
f(g(x)) = f'(g(x)) x (g(x))'
(Mais je pense que vous avez raison mais j'ai envie d'avoir l'explication complète: pourquoi on ferait g'(x) et pas (g(x))' )

RE
on a :
[g(f(x))]'=f'(x)*g'(f(x))

ici on a :
k(t) = sin(f(t))
on a sin=g et f(t)=f(x)
f est une fonction, donc on ne dérive pas t comme tu l'as fait ^^

Je comprends mieux pourquoi on a f(t) merci
k(t) = sin(f(t))
k'(t)=f'(t) x cos(f(t))
=(1/(sqrt(1-t²))) x cos(f(t))

k'(sin(x)) = 1/cos(x) x cos(f(sin(x))
= 1/ cos(x) x cos(h(x))
= 1/cos(x) x cos(x)
= 1

Et je comprends mille fois plus l'intérêt du f(sin(x)) = h(x) = x , tout est important :O

b Je n'ai pas compris ce que représente concrétement le fait que k'(x) = 0 ou k'(x) = 1 au niveau de la fonction et comment déduire des choses comme f(sin(x)) = x ou ici sin(f(t)) = t (malgré que je l'ai fait à la question 2.b mais dans ce cas on avait k(0) alors que là non donc je ne sais pas comment faire...)

tant mieux si c'est plus clair

sin(f(t)) = k(t)

on a k'(t)=1
par integration:
k(t)=t+constante
de plus la constante  k(0)=sin(f(0))=sin(0)=0

donc k(t)=sin(f(t))=t

sauf erreur

lim (sin(X)-1)/(X-pi/2) = (Sin(X) - Sin(pin/2)) / (X - pi/2) = sin'(pi/2) = cos(pi/2) = 0
X->pi/2
lim (f(x) - pi/2))/(x-1) = (f(x) - f(1)) / x-1 = f'(1)
x-> 1
lim = 1/(sqrt(1-x²) = - infini
x-> 1
x<1 (puisqu'on est dans [0;1]
On en déduit que la droite d'équation y= 1 est une asymptote verticale à Cf.

d lim f(x) - f(-1) / x+1  = là je sais pas trp :S
x->-1
On pose x = sin(x)
lim (f(sin(x)) - f(-1)) / (sin(x) + 1) = lim x +pi/2 /sin(x) + 1

lim x + pi/2 / sin(x) + 1 = lim sin(x) + pi/2 / sin(sin(x)) + 1 = sin(-1) + pi/2 / sin(sin(-1)) + 1
x-> -1                            (là j'ai remis sin(x)  à la place de x)
Mais je suppose que tout ce que j'ai fait est faux...

lim (sin(X)-1)/(X-pi/2) = (Sin(X) - Sin(pin/2)) / (X - pi/2) = sin'(pi/2) = cos(pi/2) = 0
X->pi/2

lim (f(x) - pi/2))/(x-1) = lim (f(x) - f(1)) / (x-1)
x-> 1
on pose x=sin(t) : quand x tend vers 1, on a t qui tend vers pi/2.

lim(x->1) (f(x) - f(1))/(x-1) = lim(t->pi/2) (f(sin t) - f(sin(pi/2))) / (sin(t)-sin(pi/2))
=lim(t->pi/2) (h(t) - h(pi/2)) / (sin(t)-sin(pi/2))
=lim(t->pi/2) (t - pi/2) / (sin(t)-sin(pi/2))
= l'infini.

cette limite n'est pas finie donc f n'est pas dérivable en 1.

d)lim (f(x) - f(-1))/(x+1)  
x-> -1
on pose x=sin(t) : quand x tend vers -1, on a t qui tend vers -pi/2.

lim(x->-1) (f(x) - f(-1))/(x+1) = lim(t->-pi/2) (f(sin t) + f(sin(-pi/2))) / (sin(t)+sin(pi/2))
=lim(t->-pi/2) (h(t) + h(pi/2)) / (sin(t)+sin(pi/2))
=lim(t->-pi/2) (t + pi/2) / (sin(t)+sin(pi/2))

on pose X=-t donc quand t tend vers -pi/2,X tend vers pi/2

lim(t->-pi/2) (t + pi/2) / (sin(t)+sin(pi/2))=lim(X->pi/2) (-X + pi/2) / (sin(-X)+sin(pi/2))
= lim(X->pi/2) (pi/2 -X) / (sin(pi/2) - sin(X))
=lim(X->pi/2) -[(X-pi/2)/(sin(x)-sin(pi/2))]
= infini

donc f n'est pas derivable en -1

sauf erreur

=lim(t->pi/2) (t - pi/2) / (sin(t)-sin(pi/2))
= l'infini.

Je pense pas, je pense que ca fait 0/0 (Mais pourquoi ne pas utiliser ce que j'ai fait ?)

Pour la deuxième même remarque ca fait 0/0 ce qui est une forme indéterminée.
lim(x->-1) (f(x) - f(-1))/(x+1) = f'(-1)
f'(-1) = 1/(sqrt(1-x²)) = + infini  (puisqu'on est dans [-1;1] c'est par valeur supérieure)
Donc c'est pas dérivable en -1 et en 1.

je ne pense pas que ce que tu as fait est juste car f'(1) n'existe pas.
Pour tes remarques concernant du 0/0, eh bien non car c'est l'inverse de ce que tu as déterminé auparavant, la premiere limite de la question c) donc ça fait du 1/0 qui est l'infini^^.

En esperant avoir été le plus clair possible...

Ah oki merciii