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Exercice équation différentielle
Bonjour à tous !
J'ai un exercice (plutôt un problème) à faire pour la rentrée et je bloque dés la moitié du problème. Pour que ce soit clair, je vais recopier l'énoncé et les résultats déjà établis.
On a l'équa diff (En) à résoudre : xy' + ny = 1/(1+x^2) avec n un entier naturel non nul.
1) Résoudre (E1) (E2) et (E3) : c'est bon
On introduit une fonction Fn (n en indice) : primitive qui s'annule en 0 de la fonction
t ---> t^(n-1)/(1+t^2)
2) Déterminer l'ensemble des solutions de (En) à l'aide de Fn
Je trouve S = ( x ---> C/(x^n) + Fn(x)/(x^n) , C dans K)
3) Montrer que pour tout x réel strict positif, on a :
Pour tout t compris entre 0 et x (sens large) : 1/(1+x^2) < 1/(1+t^2) < 1 (inégalité au sens large)
ça c'était pas trop dur mais je bloque sur la suivante
4) En déduire que pour tout x réel strict positif : 1/(1+x^2) * (x^n)/n < Fn(x) < (x^n)/n
tA oui tout à fait, c'était pas si compliqué que ça en fait mais je me mélangeais entre les x et les t du coup j'étais un peu perdu ^^.
Merci de m'avoir éclairé en tout cas !
J'avais essayé de continuer l'exo en admettant ce résultat mais j'ai rencontré d'autres soucis !
en 5) : En déduire que Fn(x)/(x^n) admet une limite lorsque x tend vers 0 et la déterminer.
Je dirais d'après la dernière inégalité, en divisant tout par x^n (>0) que cette limite est 1/n (d'après le théorème des gendarmes). Est-ce correct ?
Puis 6) : Conclure que l'équation (En) admet une unique solution possédant une limite finie en 0.
Et là je sais pas...
Merci de votre aide !
Pour la limite c'est OK.
Tu regardes bien ton ensemble de solutions. Que fait C/xn quand x tend vers 0?
C/(x^n) tend vers l'infini donc la solution aussi puisque l'autre terme de la somme tend vers une limite finie (1/n), non ? Donc je vois pas pourquoi l'énoncé parle d'une limite finie...
Mais j'ai peut-être pas compris la question aussi ^^ ...
A moins qu'on ait C=0.... et là indétermination 0/0 mais comment la lever?
Dites le moi si je m'égare !
Pour C=0, tout ce terme vaut 0. Si C
0, ça tend vers l'infini. Donc la seule solution qui a une limite est celle que l'on obtient pour C=0 (car on a déjà vu que l'autre terme a une limite).
Ok merci beaucoup pour l'aide !
Je vais essayer de continuer puis si je bloque à nouveau je reviendrai faire un petit tour.
Me voilà de retour pour la suite de l'exercice (car je bloque encore sur la fin) !
Je rappelle où en était l'exo :
(En) admet une unique solution possédant une limite finie en 0 : celle obtenue pour C=0
Après l'énoncé dit : Cette limite sera notée L et on prolonge l'unique fonction obtenue ci dessus en une fonction notée fn continue en 0 en posant fn(0)=L
J'en déduis donc : fn telle que :
fn(x) = Fn(x)/(x^n) si x non nul
fn(0) = 1/n
Question 7) : A l'aide de la question 4), prouver que fn est dérivable en 0 et déterminer fn'(0)
ça je pense avoir réussi en partant de l'encadrement du 4) et en arrivant à un encadrement de ( fn(x)-(1/n) ) /x qui, lorsque on fait tendre x vers 0 donne fn'(0) = 0
8) A l'aide de l'équa diff, déterminer le sens de variation de fn sur R+
J'ai exprimé y' en fonction du reste dans l'équa diff mais je vois pas comment étudier le signe de ce second membre.
Si quelqu'un peu m'éclairer ? Merci !
Rebonjour
On a donc
Les inégalités de 4) montrent que pour x > 0 le second membre est négatif, ce qui permet de conclure sur [0,+
[.
Par ailleurs, montre que fn est paire. Pour ce faire, montre que la fonction gn(x)=fn(-x) est elle aussi solution de l'équation et qu'elle a une limite en 0.
Merci Camélia !
J'ai réussi la 8) grâce à toi. J'avais pas pensé à réutiliser l'inégalité d'avant.
Mais il me reste un ultime problème ^^ :
question 10) Montrer que pour x > ou = 1 on a :
Pour tout t compris entre 1 et x, 0 < 1/(1+t^2) < 1/t^2 (au sens large)
ça c'est bon mais je dois en déduire (en utilisant la relation de Chasles) un encadrement de Fn(x) lorsque x > ou = 1 permettant de montrer que fn admet une limite finie L' en + l'infini.
Je suis parti de l'inégalité, multiplié par t^(n-1), intégré entre 0 et x de façon à retomber sur Fn(x) mais après je ne sais plus qu'en faire...
Ca marche comme avant;
cette fois on intégre de 1 à x, et on trouve
Si tu divises tout ça par xn tu peux conclure. (Ce qui me chagrine c'est que ce que j'ai écrit n'est pas valable pour n=2.
J'en arrive à la conclusion L'=0, c'est ça ?
Reste le problème du n=2... Mais peut-être que comme le début de l'exo consistait à résoudre (En) pour n=1, 2 et 3, on peut considérer que leur cas est réglé et donc que l'on en parle plus... Enfin en tout cas je crois que je vais passer outre ^^.
Il ne me rest plus qu'à tracer l'allure de fn, ce que je devrais être capable de faire.
Merci beaucoup de m'avoir largement aidé sur cet exo !!!
tu es sur(e) d'avoir intérêt à raconter tes croisières dans l'ile à ton prof de maths?
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