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Exercice Géométrie Dans L'Espace
Bonjour,
Je poste l'exercice, et mes recherches ensuite afin que vous puissiez m'aider.
Exercice
On considère le Plan P représenté paramétriquement par :
x = 2 + 
- 
y = 3 - + 2
z = 1 + 2 +
où ( , ) 
2
1) Donner une équation cartésienne du plan P.
2) Soit A = ( 1,1,1 ). Donner la distance entre le point A et le Plan P.
3) Donner une représentation paramétrique de la droite D passant par A et orthogonale au plan P.
4) Vérifier que le système d'équation :
x = 1
y + z = 2
est une droite D' de 3 . Déterminer un vecteur directeur de cette droite ainsi qu'un représentation paramétrique.
5) Déterminer l'intersection de la droite D' et du plan P.
6) Déterminer l'intersection des droites D et D'.
Mes recherches
Pour ne pas vous mentir, là je suis largué, le prof nous a fait le cours en 4 h et je n'ai pu assister qu'a 2 h de ce cours sur la géométrie dans l'espace. Aucun exercice n'a été traité, je ne comprend donc pas grand choses.
Voilà, ce que j'ai fait : Pour la question 1, j'ai dit que l'équation du plan est de la forme ax+by+cz+d . En faisant les calculs je trouve que le plan a pour équation : 5 + 2 + 2
Mais même ça je n'en suis pas sur alors je ne peut pas attaquer le reste 
Help !
Bonjour 
Cela n'a aucun sens, il faut une équation en x,y,z = 0.
Comprends-tu l'équation paramétrique du plan déjà ?
Regarde, notons ;
;
;
Le système paramétrique se réécrit :
Ou encore :
Les vecteurs et
sont directeurs du plan (qui contient le point
)
En fait le plan est l'ensemble des points tels que
soit une combinaison linéaire de ces vecteurs directeurs.
Maintenant si t'as bien compris les vecteurs ,
et
sont coplanaires, donc leur produit mixte est nul :
soit en développant le déterminant :
La voila ton équation du plan 
Bon alors on va la démontrer.
Tu sais qu'un vecteur normal au plan est (tiens au fait pourquoi?)
La distance du point A au plan est la longueur du segment AH où H est le projeté orthogonal de A sur le plan.
Que peux-tu dire de et
?
D(m/p)=|ax+by+cz+d|/
a2+b2+c2
ça c'est la formule pour calculer la distance d'un point a un plan.
Ici j'ai 11/35 .
Pour la 3eme question j'ai fait comme ceci!
Forme de l'equation d'une droite de 3 :
ax+by+cz+d=0
A(1,1,1)
donc la droite passant par A est de la forme a+b+c+d=0 ensuiteje voulais prouvé que la droite est orthogonale a 2 droites secantes du plan pour prouver qu'elle etait orthogonale au plan mais je crois que je me complique la vie surtout d'apres ce que tu viens d'écrire concernant un vecteur normal au plan infophile. Bref la geometrie c'est pas trop mon truc surtout qu'on a passé tres peu de temps dessus en cours. Quelqu'un pourrait t'il m'expliquer la methode?
Bonjour detonick,
Oula attention une droite dans l'espace n'a pas d'équation cartésienne !! Les équations de cette forme caractérise un plan ! Une droite est définie à la rigueur comme l'intersection de 2 plans donc un système de 2 équations cartésiennes.
Ah d'accord merci j'hesitais sur ça aussi. Mais j'ai pas trouvé.
Peut etre dois je l'ecrire comme ceci:
x(t)= x0+
t
y(t)= y0+
t
z(t)= z0+
t
et =5, =3 et =-1 car la droite est orthogonale au plan. Ensuite je remplace x,y,z par 1 car la droite passe par A(1,1,1).
Est ce que je dois faire comme ça?
Bon on va aller à l'essentiel, pour la distance d'un point à un plan il y a une formule très pratique (donnée par detonick) 
(lis la démo aussi).
Par contre ce qu'il fait ensuite pour la question 3) est faux, ne lis pas la fin de son message.
Pour la représentation paramétrique de D, utilise le vecteur normal
detonick > Si tu as besoin d'aide poste un nouveau sujet, là tu embrouilles killerbeast plus qu'autre chose 
salut je trouve moi 5x-y-3z-4=0 pour l'équation du plan.
en exprimant et chacun leur tour en fonction de x et z et en injectant dans l'expression de y. dans le systeme parametrique du plan. !!!
Euh ça devient ...
Quelqu'un pourrait-il me dire quel est la solution et comment à t'il fait pour y parvenir correctement ?
Car là j'ai des réponses différentes à toutes les questions ...
moi j'ai fait comme ça:
x = 2 + -
y = 3 - + 2
z = 1 + 2 +
alors = x-2- en injectant dsn l'expression de y j'ai : y= 5- x +3
ensuite on injecte l'expression de en fct°de x dans z
j'ai : z = -3+2x- alors =-3+2x-z
en remplaçant dans y-> y=-4+5x-3z et donc 5x-y-3z-4=0
...
Infophile je n'arrive pas à faire ton produit mixte pour la question 1. Et peut tu m'aider à rédiger pour les autres car je suis perdu.
Tu ne sais pas calculer un déterminant 3*3 ? Sinon tu peux utiliser la méthode de Daleny (sans l'erreur de calcul que j'ai signalé).
OK pour la 3.
Pour la 4. il suffit de montrer que les plans définis par ces équations ne sont pas parallèles.
Même si tu me dis ce qu'il faut faire, je ne sait pas le faire, alors montre mois s'il te plaît, comme tu as pu le constater je refait ta démarche, sinon je ne t'aurait pas dit que je ne savais pas faire un det 3*3.
Non ce n'est pas à moi de tout faire, je te donne des pistes, à toi de les suivre.
Si tu ne sais pas calculer un déterminant 3*3, réfère toi à ton cours, et si tu n'as pas encore vu les déterminants alors regarde la méthode de Daleny.
Pour la question 4)
Ok, on peut déterminer que les deux plans du système ont une intersection, mais pour cela, il faut poser un paramètre, comme par exemple y=lambda.
En clair, on un paramétrage. Mais ca ne nous permet pas de trouver l'équation de la droite, et encore moins un de ses vecteurs directeurs.
Help! Je rejoins killerbeast sur la qualité médiocre de nos cours de maths. On nous balance des démos mais on ne fait aucun exo et on nous laisse sans méthode de travail.
Bonjour Beralus,
Avez-vous vu en cours les notions de déterminant, produit mixte, produit vectoriel ?
Bonjour infophile,
Pour le produit vectoriel, oui. Mais les 2 autres, je viens de feuilleter notre cours, et ils n'y sont pas mentionné. Je vais jeter un coup d'oeil sur le net pour voir de quoi il en retourne pour le déterminant et le produit mixte.
Bon alors pour la 4) allons-y à coup de produits vectoriels.
Que peut-on dire du vecteur directeur de la droite résultant de l'intersections des plans par rapport aux normaux ?
"Que peut-on dire du vecteur directeur de la droite résultant de l'intersections des plans par rapport aux normaux ?"
Euuuhhh... Quels normaux? Ceux des plans ou ceux de la droite d'intersection des 2 plans.
Alors pour P j'ai Vec u (5,3,-1) car j'ai pour équation cartésienne du plan 5x + 3y - z - 18 = 0
Et pour P', j'aimerais bien, mais j'ai pas son équation! Je ne vois pas comment obtenir son équation cartésienne.
Bon je pensais trouvé de l'aide ici, pas l'inverse. Au final, je bloque toujours pour la question 4,5,6.
beralus & killerbeast > nous sommes en train de traiter la 4 !
les plans en question sont ceux définis par le système et pas celui qu'on a déterminé précédemment...
Oups pardon! Je me suis enmêlé. Alors vu qu'on a 2 équations de plan dans le système, on en déduit 2 vecteurs normaux :
u(1,0,0) et v(0,1,1).
Je suppose qu'il faut utiliser le produit vectoriel en posant une matrice pour obtenir le vecteur directeur.
Pour le paramétrage de la droite, il s'agit bien de ce que j'ai indiqué au dessus (en fixant une variable comme lambda=y, par exemple)?
Non, une chose à la fois, le vecteur directeur déjà.
Il n'est pas question de matrices ici, mais de produit vectoriel.
J'avais compris qu'on posait une matrice lorsqu'on réalisait le produit vectoriel. Anyway, j'ai trouvé mon vecteur directeur, c'est u x v.
Ben non, voilà c'est simplement le produit vectoriel de u et v.
Ensuite paramétrage, sers toi de ce vecteur directeur.
Ok ok! Bon ben pour la 5 et la 6 ensuite, c'est sans difficulté. Ca me turlupine quand même de trouver que le point d'intersection entre D et D' soit A... Qu'en penses-tu infophile?
En tout cas, merci merci merci et encore merci pour ton aide!
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