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Exercice L1 : Etude de fonction (3)

Posté par
olive_68 18-07-09 à 06:55

Bonjour

Encore moi, j'aimerais bien que vous jetiez un coup d'oeil la dessus et pour que vous m'aidez un peu
Si quelque chose n'est pas correct dans la rédaction dites le J'aimerais bien m'améliorer dans la rigeur

4$\fbox{1.}  On considère la fonction 3$\fbox{g \ : \ \ x \ \to \ 2x\sqrt{1-x^2} .
          Determinez son ensemble de définition puis établir son tableau de variations.
          Précisez les extrema de 3$g sur sont ensemble de définition.

Citation :
10$\star  Tout d'abord la fonction 3$\blue h(x)=\sqrt{1-x^2} est définie sur 3$\blue [-1:1] car la racine d'un nombre existe si ce nombre est positif

Or si 3$\blue x\in [-1;1] alors 3$\blue 1-x^2 \in [0;1]

Donc la fonction 3$\blue g est définie sur 3$\blue [-1;1] en tant que produit et composée de fonction dérivable sur cette intervalle.

10$\star  Calculons 3$\blue g^'(x) pour étudier les variations de notre fonction,

     3$\fbox{g'(x)=2\sqrt{1-x^2}-\fr{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\fr{2-2x^2-2x^2}{\sqr{1-x^2}}=\fr{-(2x-\sqrt{2})(2x+\sqrt{2})}{\sqrt{1-x^2}}

Et en faisant un jolie tableau de variations on a :

3$\fbox{\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-1&&-\fr{\sqrt{2}}{2}&&\fr{\sqrt{2}}{2}&&1 \\{g^'(x)}& &-&0&+&0&-& \\{g(x)}&&^0\searrow&_{-1}&\nearrow&^1&\searrow&_0&\\\end{tabular}

On remarque que la dérivée s'annule en 3$\blue \pm \fr{\sqrt{2}}{2} les extrema sont donc sur le tableau ci dessus.


4$\fbox{2.} Déduire du \fbox{1.} l'ensemble de définition de la fonction 3$\fbox{f \ : \ \ x\to \ \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})

Citation :
La fonction 3$\blue \arcsin est définie sur 3$\blue [-1;1] or quand 3$\blue x\in [-1;1] on a 3$\blue g(x)\in [-1;1]
Donc par composition on en déduit que 3$\blue f est définie sur 3$\blue [-1;1]


3$\fbox{3.} Déterminer l'ensemble des points où 3$f est dérivable. En ces points montrez que : 3$\fbox{f^'(x)=\fr{2(1-2x^2)}{|1-2x^2|}\times \fr{1}{\sqrt{1-x^2}}

Citation :
On sait que 3$\blue \arcsin(X) est dérivable pour 3$\blue X\in ]-1;1[, avex 3$\blue X=g(x) et d'après la question on en déduit que 3$\blue f est dérivable pour 3$\blue x\in ]-1;-\fr{\sqrt{2}}{2}[\cup]-\fr{\sqrt{2}}{2};\fr{\sqrt{2}}{2}[\cup]\fr{\sqrt{2}}{2};1[.

Dérivons cette fonction :

3$f^'(x)=\fr{1}{\sqrt{1-\(2x\sqrt{1-x^2}\)^2}}\times g'(x)=\fr{g^'(x)}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}}=\fr{g^'(x)}{\sqrt{4x^4-4x^2+1}}=\fr{g^'(x)}{\sqrt{(2x^2-1)^2}}=\fr{g^'(x)}{|2x^2-1|}=\fr{\fr{2-4x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{|-1|\times |1-2x^2|}=\fr{2(1-2x^2)}{|1-2x^2|}\times \fr{1}{\sqrt{1-x^2}}

On a bien démontré que 3$\blue \fbox{f^'(x)=\fr{2(1-2x^2)}{|1-2x^2|}\times \fr{1}{\sqrt{1-x^2}}


3$\fbox{4.} Calculer 3$\fbox{f\(\sin\(\fr{2\pi}{7}\)\)

Citation :
3$\fbox{f\(\sin\(\fr{2\pi}{7}\)\)=\arcsin\(2\sin\(\fr{2\pi}{7}\)\times \sqrt{1-\sin^2\(\fr{2\pi}{7}\)}\)=\arcsin\(2\sin\(\fr{2\pi}{7}\)\times \sqrt{\cos^2\(\fr{2\pi}{7}\)}\)=\arcsin\(2\sin\(\fr{2\pi}{7}\)\times \cos\(\fr{2\pi}{7}\)\)=\arcsin\(\sin\(\fr{4\pi}{7}\)\)=\fr{4\pi}{7}}

Puisque pour tout réels 3$x tel que 3$\blue -\fr{\pi}{2}\le x \le \fr{\pi}{2} on a 3$\blue \arcsin(\sin(x))=x

Mais ça n'a pas l'air de coller niveau calcul ..


3$\rm Merci d^'avance

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:24

Bonjour.

Tout me semble convenable, à part la question 4°).

Pour 1°) :
¤ pense à préciser que g est non dérivable en -1 et 1
¤ en remarquant que g est impaire, une étude sur [0,1] suffit

Pour 4°), remarque que 3$\textrm \ \fra{4\pi}{7} > \fra{\pi}{2}

Utilise alors le fait que sin(X) = sin(-X)

Posté par
olive_68re : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:30

Ahh c'est pour ça .. j'avais pas fait gaffe, je me disais bien que la valeur ne collait pas ..
Du coup, c'est plutôt du 3\fr{\3\pi}{7} qu'on devrait trouver non ?

Eh merci pour la première question

Enfin plutôt, Merci beaucoup pour tout

Posté par
olive_68re : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:31

Oups je voulais modifier la taille, il faut lire 3$ \fr{3\pi}{7}

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:40

Voilà, c'est ce que j'ai obtenu.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:44

Ok donc ça doit être bon

(Si je peux te demander, à l'oeil sur 5 tu me donnerais combien sur cette exercice ? de même que sur l'autre sur les nombres complexes ?\to j'ai fais un sujet de partiel L1 en entier et j'aimerais voir un peu près ce que ça donne ^^)

Merci

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:49

Pour la fonction : seule la dernière question était fausse. On va dire 4 points.

Pour les complexes, tu n'as pas explicité la partie réelle. Je pense à 4,5 points.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 09:56

Ok, merci beaucoup Bonne journée raymond

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 : Etude de fonction (3) 18-07-09 à 10:04

Bonne journée.


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