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Exercice limites, suites et evolution
Bonjour a tous, alors j'ai un exercice qui me pose problème et je souhaiterais avoir de l'aide :
Un correspond au quotient de la population à la génération n par rapport à une population max
On admet que Un+1 = k*Un(1-Un) avec k facteur de croissance qui dépend de l'environnement
Cas 1 : U0 ∈ [0;1] et k ∈ [0;1]
1 ) Demontrer ∀n, 0 ≤ Un ≤ k^n
je n'arrive pas a faire l'hérédité mais j'ai réussi l'initialisation
2) En déduire que la suite Un converge et en déduire sa limite
Grace au cas géometrique, k^n est convergente vers 0 car k ∈ [0;1] et 0 converge vers 0 donc Un aussi
3) Interpréter le résultat : je n'y arrive pas non plus
Cas 2 : U0 = 0.1 et k = 1.9
1) etudier les variations de f sur [0;1]
j'ai calculer la dérivée et j'ai obtenu 1.9-3.8x donc la fonction est croissante sur [0;1/2] et décroissante sur [1/2;1]
2) Quelle conjecture peut on émettre quand a la convergence de la suite ?
Elle converge vers 0.5
3) Démontrer que,∀n, 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 1/2
J'ai encore du mal pour l'hérédité mais peut on assimilé Un a une fonction f(Un) et dire que comme f(Un) est croissante sur [0;1/2] on en déduit que 0 ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 1/2
4) En déduire que la suite converge vers un réel L. On admet que L vérifie L = k * L(1-L), determiner L
k = 1.9 donc on a
L = 1.9L(1-L) ⇔ L = 1.9L - 1.9L² ⇔ 0.9L = 1.9L² ⇔ L = 0.9/1.9
5) Interpréter le résultat
Je ne comprend pas le sens d'interpréter encore une fois
Cas 3 : U0 = 0.1 et k = 5
1) a) Calculer les premiers termes de la suites :
u0= 0.1 u1= 0.45 u2= 1.2375 u3= -1.47
b) Quelle conjecture pour la suite (Un) ?
-∞
2) a) Trouver un entier p pour Up < 0
J'ai pris 3 car U3 = -1.47 < 0
b) Montrer que (Un) est décroissante à partir de Up
3) Montrer que (Un) n'est pas minorée
4) Montrer la conjecture du 1. b)
5) Est-il possible d'avoir cette situation concrètement ?
A partir de la question 2 je suis totalement perdu
Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?
Bonjour,
1) indique tes premiers calculs pour l'hérédité en précisant la ligne où tu rencontres des difficultés
Oui alors on a
0
Un1
0
-Un-1
1
1-Un0
Et après ?
c'est faux
pour l'hérédité tu dois supposer que la propriété est vraie au rang n
0 ≤ Un ≤ k^n
....≤-Un≤......
....≤1-Un≤......
puis
.......≤(1-Un)kUn≤
-Un
maintenant plutôt dans ce sens pour pouvoir faire la suite.
....≤kUn(1-Un)≤...
mais auparavant
....≤1-Un≤...
puis
....≤kUn(1-Un)≤...
Oups ...j'ai oublié d'effacer
maintenant plutôt dans ce sens pour pouvoir faire la suite.
....≤1-Un≤...
puis
....≤kUn(1-Un)≤...
Ah oui merci je viens de comprendre c'est bon si on multiplie on obtient :
kUn(1-Un) k^n+1 donc Un+1 k^n+1
Mais comment interpréter ?
donc tu viens de terminer l'hérédité
comme tu as fait l'initialisation , il faut conclure:
Comme la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire , elle est vraie pour tout n appartenant à 
.
Oui la après je conclut merci
Et pour la récurrence du cas 2 : si on assimile la suite à une fonction
On a 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 1/2, comme f est croissante sur [0;1/2] alors on a
0 f(Un) f(Un+1)1/2
Donc 0Un+1Un+21/2
C'est bon ?
On a 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 1/2, comme f est croissante sur [0;1/2] alors on a
f(0 )f(Un) f(Un+1)f(1/2)
f(0)=0
f(1/2)=0,475<0,5
Donc 0Un+1Un+21/2
Oui avec les images notamment merci
J'ai aussi un problème pour le cas 3 pour montrer qu'elle est décroissante j'ai essayer de calculer la dérivé mais aucun résultat ne mène au rang que j'ai conjecturer ! Comment faire ?
initialisation U3<0 il faut indiquer la valeur exacte fractionnaire
U3-U2<0
hérédité
soit k>3 supposons vraie la propriété au rang k
Uk+1-Uk<0
orr
f(x)=5x(1-x)
f'(x)=5-10x
f'(x)≥0 si 5-10x≥0 si 1/2≥x
f(x) est croissante si x≤0,5 or U3<0<0,5, si f est croissante alors
f(Uk+1)-f(Uk) est de même signe que Uk+1-Uk
comme
Uk+1-Uk<0
Uk+2-Uk+1<0
rappel Soit une fonction f définie dans un intervalle I. On dit que f est croissante dans I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, si a<b, alors f(a)< f(b) .
d'où la propriété est vérifiée au rang k+1
conclusion...
Ouf merci beaucoup je comprend mieux car je m'étais arrêté a la derivé et je ne comprenais pas.
Pour la question 3 du cas 3 comment faire ? Je sais que pour montrer qu'une suite n'est pas minoré il faudrai montrer que pour tout réel M il existe un rang n tel que Un < M Doit on le faire par recurrence ?
la suite (Un) est définie par f(Un) si la suite admet une limite L ,alors L=f(L)
donc la suite (Un) n'est pas minorée
Oui je comprend mais y a pas un probleme car on a conjecturer que la suite diverge vers - 
mais on l'a pas démontrer donc du coup ca pose un problème non ?
Oui je comprend mais y a pas un probleme car on a conjecturer que la suite diverge vers -
mais on l'a pas démontrer donc du coup ca pose un problème non ?non si la suite diverge -
,, elle ne peut pas être minoréej 'applique cela
la suite (Un) est définie par f(Un) si la suite admet une limite L ,alors L=f(L)
ici
d'où la suite (Un) n 'admet pas de limite réelle L , donc elle n'est pas convergente , une site qui n'est pas convergente et divergente
D'accord c'est bon je viens de comprendre !
J'ai fini mon exercice et je te remercie infiniment d'avoir consacré du temps a me répondre !
Bonne soirée 
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