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deuxieme exercice sur les exponentielles !!

On se propose de démontrer qu'il existe une suele fonction f dérivable sur R vérifiant la condition :

(C){f(-x)f'(x) = 1 pour tout nombre réel x.
   {f(0)=-4

(où f' désigne la fonction dérivée de la fonction f) et de trouver cette fonction.

1) On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur R par g(x) = f(-x)f(x).

a) dDémontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.

b) Calculer la fonction dérivée de la fonction g.

c) En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.

d) On considère l'équation différentielle (E) : y'=1/16 y.  Montrer que la fonction f est solution de cette équation et qu'elle vérifie f(0)=-4.

2) a) On sait que la fonction xe^{x/e^16} est solution de l'équation différentielle (E). Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur R, de la forme xKe^x/16 , où K est un nombre réel quelconque.

b) Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur -4 en 0.

3) Déduire des questions précédntes qu'il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.