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exercice série de fourier
Bonjour,
J'aurais besoin d'une aide dans la résolution de l'exercice suivant (je révise pour mes partiels)
Soit la fonction f suivante définie sur R par f(x)=
(n1)sin(nx)/n²
1)Montrer que f est continue sur R et 2
périodique
Alors f(x+2)=(n1)sin(n(x+2pi))/n²=(n1)sin(nx)/n²=f(x) (la fonction sinus est 2pi périodique)
d'où f(x+2pi)=f(x) pour tout x réel ce qui prouve que f est 2pi-périodique
Pour montrer que f est continue sur R, je ne vois pas vraiment comment on fait, sinon cette fonction me fait vraiment penser à une série de fourier...
2)Donner l'expression formelle de ces coefficients de Fourier. Je travaille ici dans la bae des cosinus et sinus:
an=1/
(-pi,pi) f(x)cos(nx) dx et bn=1/(-pi,pi) f(x) sin nx dx, faut-il s'arrêter ici?
3)Montrer qu'il est possible ici de les déterminer sans aucun calcul
Je ne vois pas comment m'y prendre 
Je pense que f est impaire sur [-pi,pi] (du fait que la fonction sinus soit impaire sur [-pi;pi] d'où les an sont nuls ...
4)Montrer que f est dérivable sur R( je crois que c'était ça la question mais n'en suis pas si sûr)
Merci d'avance de votre aide
Si tu poses , pour x 
et n 
* , fn(x) = 1
kn sin(nx)/n2 tu as une suite n 
fn d'applications continues , paires et 2-péroodiques .
Le fait que |sin(nx)/n2| 1/n2 montre que pour tout x la suite de réels n fn(x) converge vers un réel qu'on te suggère de noter f(x) .
Tu obtiens ainsi une application f de dans .
La périodicité et l'imparité passent facilement à la limite .La continuité y passse aussi parfois mais sous certaines conditions .La plus connue est la "convergence uniforme"
Ici c'est le cas puisque Sup{ |fn(x) - f(x)| / x } r(n) = k>n 1/k2 et puisque r(n) 
0 (qd n +
)
Tu pourras rédiger ce qui précède en utilisant les mots "série" ,"convergence normale d'une série de fonctions" quand tu auras maitrisé ces notions , ce semble ne pas être le cas.
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