La suite étant croissante et majorée elle converge donc elle est de Cauchy :
A partir d'un certain rang N :
|u_p-limite|<= epsilon /2 et |u_q-limite|<= epsilon /2 donc , en additionnant , si p, q > N :
|u_p-u_q|<epsilon .

C'est tout, je pensais que c'était bien plus long et plus dur que cela.

Par contre j'aimerais savoir, tu dis Uq et Up mais laquel est celle qui converge et majorée. Et y t-il des hypothèses sur l'autre?
Merci de ton aide

Up désigne le p-ième terme de ta suite Un

Donc par hypothèse elle est majorée et convergente, c'est sa?

Merci

Ce sont les hypothèses que tu as écrite en question 1 .

D'accord, je confirme ce que je disais.
Merci à toi de m'avoir aidé

2.1) Ecrire la définition de 'u converge vers l'.

Sa y a pas de souci

2.2) On suppose que u est une suite qui converge. Montrer que u est une suite de Cauchy. On pourra utiliser l'inégalité triangulaire.

On pourrais partir de la définition de la 2.1.
>0,n0|nn0 |Un-l|

Ici l serait une suite (par exemple Up).

Mais après je ne vois pas comment faire.

Si quelqu'un pouvait m'aider, sa serait gentil.

Merci d'avance

salut

Pourrait-tu me l'expliquer s'il te plait?

Car en le voyant comme sa tu utilises la formule de cauchy et de l'autre coté la définition de la convergence.

Merci de ton aide

tu pose premeirement a definition de la limite
>0 ; on a ..... ensuite tu somme et tu utilise

Ah d'accord merci beaucoup alors

de rien
on a meme finalement pas à utiliser le croissance de la suite ou le fait qu'elle soit bornée; l'assurance de sa convergence seule suffit

Oui c'est bien sa

Je continue sur la 3) on suppose que U est une suite de Cauchy

i) Montrer que si Ui est une suite extraite de U, alors la suite de terme général (Ui-U) converge vers 0.

Le seul problème sa me parait trop évident pour être démontrer.

J'obterais pour la définition de la convergence et en utilisant l'inégalité triangulaire comme dans ma 2.

Si quelqu'un pouvait m'éguillez vers une indication plausible s'il vous plait.

Merci d'avance

Bonsoir.....

Peut-être faut il tout redémontrer:


un suite croissante majorée ==> un suite de Cauchy.


soit A la borne supérieure de (un)

pour tout , il existe N tel que est compris entre et A

comme un est croissante et majorée alors pour tout n et p supérieurs à N

on a un et up compris entre et A
l'inégalité triangulaire permet de conclure....

et tout le reste découle de cela....

Ah d'accord, c'est bien plus compliqué que cela.
Je vais continuer sur ton idée.
Merci de ton aide

prends la suite definie par
où ;
il sffit de remplacer par dans la formule de cauchy et tu as la limite de

Sa ma l'air un peu plus simple sa.
Merci beaucoup à vous 2.

Par contre j'avais une question car ensuite on me demande on me demande de montrer que u est bornée, or d'après esta-fette

Citation :
pour tout , il existe N tel que  est compris entre A-et A

nn ca veut juste dire que est bornée au voisinage de A;pour te repondre ;il suffit de remarquer que si n'etait pas bornée on pourait en extraire ne suite qui diverge vers mois l'infini puis qu'elle est au mois majorée par A

Ah d'accord sa explique la question.

Pis la dernière question est 'montrer que u converge'

On reprend la définition de la converge et on choisit une valeur de epsilon (un choix judicieux bien sur)

Merci pour ton aide

des que tu sais qu'elle est bornée et de cauchy tu peux affirmer qu'elle est convergente

Ah d'accord sa je ne savais pas, je n'ai pas vu cette suite en cours.
Merci pour ton aide précieuse

de rien

Je te remercie encore

re-bonjour:


pour clarifier tout:

(un) suite bornée croissante:

appelons A la borne supérieure, c'est à dire le plus petit majorant.....
pour écrire simplement, je met e à la place d'epsilon. et < au lieu d'inférieur ou égal

soit e >0
A est un majorant donc :   pour tout n, un < A           (1)
posons e'=e/2

A-e' n'est pas un majorant car le plus petit des majorants est A
donc                       il existe n, un > A-e'          (2)
appelons N un tel nombre: on a      A-e' < uN < A  

un est croissante donc si n <N et p > N
                              A-e' < un < A
et                            A-e'< up < A

on en déduit que |un-up| < 2e'=e

on a montré que (un) est une suite de Cauchy
on peut facilement démontrer qu'elle converge vers A
------------------------------------------------------

Pour montrer qu'une suite de Cauchy est bornée et convergente:
on prend une suite de Cauchy
soit e un réel positif, par exemple 1
à partir de N, on a |un-up| < e   (on prend p = N)
donc |un - uN| < e
donc     pour tout n de N , on a:  uN - 1 < un  <  un +1

pour la convergence:
on prend la suite (vn) définie par vn = Sup (up; p >n) c'est à dire la limite inférieure ou plus simplement la borne inférieure des termes de la suite situés après n.

la suite (vn) est croissante, majorée: donc convergente   (on le montre ou on l'a déja démontré)

et on montre ensuite que la suite (un) converge elle aussi vers la même limite....




en fait ce n'est pas aussi évident à démontrer qu'on pourrait le penser à première vue....

Oui je t'avoue que j'aurais jamais sortie sa.
En plus que tu as pu remarquer que je suis pas très futé...
Mais bon, je comprends ce que tu veux dire à part quelques points mais faut juste travailler un peu dessus.

Merci pour tout

Re bonjour à tous,

je bloque sur la partie 4 de mon exo qui est une application directe de la formule de Cauchy.

4) Application: Soit u une suite de C^N. On suppose qu'il existe un réel k de [0,1[ tel que:
quelque soit n appartient à N, |Un+2 - Un+1| k*|Un+1-Un|

i) Majorer pour p appartient à N, |Up+1 - Up| à l'aide de p,k, |U1-U0|

Réponse: On remarque que p = n+1
|Up+1 - Up| <k*|Up - Up-1|

Mais je n'ai pas de |U1-U0|

Si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance

bonjour.....

et pourtant c'est simple:

Heu je ne vois tout à fait ou est m? C'est toi qui le rajoute ou alors c'est parce que c'est dans la formule de Cauchy?

Merci de ton aide

Oui jusque là je te comprends.