Pose et essaie d'étudier comment évolue .

Salut,
montre peut être que les suites sont adjacentes, elles ont donc la même limite.

la racine m'embete à vrai dire pour faire vn+1 - vn... vaut pas mieux faire (vn+1)² - (vn)² ?

Non.

bon : vn+1 = rac[(un+vn)/2 + (vn²/2)] > 0
donc ... ?

Re-
on a 0 < U0 < V0, et si au rang n on a 0 < Un < Vn ,
Un+1 = (Un+Vn)/2 < Vn , donc Un+1² < Un+1 * Vn, donc Un+1 < Un+1*Vn = Vn+1, donc par récurrence  Un < Vn pour tout n.

Vn+1 = ((Un+Vn)/2*Vn) = (Un.Vn+Vn²)/2
< Vn² = Vn, donc Vn décroit.
Un+1 = (Un+Vn)/2 > 2Un/2 > Un
donc Un croît, Vn décroit et Un < Vn, donc Un et Vn sont adjacentes.
Donc Un --> l et Vn --> l.
Je ne sais pas après s'il faut donner une valeur explicite de la limite, et je ne sais pas si c'est possible, étant donné que U0 et V0 sont inconnus.
Voilà j'espère avoir pu t'aider.

ok merci. quant à la limite, il faut la donner oué, mais c'est vrai que j'ai pas de valeurs de u0 et v0, juste le fait qu'ils sont positifs... T'aurais une idée quand même ?

une idée pour la limite ?

je vois pas vraiment pour ma limite...

Bonsoir ;

Une idée :

Poser puis montrer par récurrence que _{(sauf erreur bien entendu)}

Pour conclure il suffit de montrer que

et en écrivant on voit que

qui s'écrit aussi _{(sauf erreur bien entendu)}

pourrais-tu m'expliquer le lien avec mon exo, parce que là ton truc même s'il est juste, je ne vois pas trop le rapport avec mon exo...

Salut kim,
aucun rapport du tout, c'est simplement la limite des suites Un et Vn...

on peut dire comme ça, du tac au tac : on poseu0 = v0 cos teta et ainsi de suite... ce que je voudrais savoir c'est comment on part de cette hypothèse

qui peut me dire pk on part de l'hypothèse u0 = v0 cos teta ? merci!!

salut kimiferrari, vieux ce topic...

Eh bien tu pars de l'hypothèse u0 = v0 cos(théta) car elle équivalente à
0 < u0 < vo, bien sur théta appartenant à ]0;pi/2[, car u0 ne peut ni valloir 0 ni v0.

Ensuite toute la démonstration de elhor_abdelali est très logique, mais c'est vrai très dure à trouver...

dis moi juste yoyo, j'ai à montrer les 2 propriétés des 2 posts ou juste la dernière ? Je suppose que ça se fait par récurrence toutes les 2 ?

En fait il me semble que les deux posts constituent une seule et même démonstration, qui conduit à la limite des suites Un et Vn. Mais il est vrai qu'elle est assez complexe comme démonstration: beaucoup de récurrences...
En fait je ne sais pas si ton prof veut une démontration parfaite pour la limite de la suite(en ce cas il faudra effectuer celle d'elhor abdelali je pense) ou bien juste la réponse.

écoute, moi même je sais pas trop... y'a pas d'autre moyen de trouver la limite ? Sinon, si tu as bien compris ce qu'elhor a dit, pourrias-tu me détailler 1 peu + car je suis réellement dans le brouillard, merci!

En fait j'avais chercher une démonstration de la preuve, mais l'expression de la limite étant assez compliquée, il me semble qu'il faut une preuve compliquée...

Bon je vais essayer de t'expliquer ce que j'ai compris:

Comme 0 < u0 < v0, on pose v0 = v0.cos(), dans ]0;pi/2[, pour les raisons que je t'ai expliquées.
en utilisant les expressions des suites un et vn tu peux démontrer (le calcul est plutot lourd) par récurrence les expressions de vn et un en fonction de v0, de = je te laisse faire le calcul, ca prend trop de place...
En utilisant les expressions qu'a données elhor, à savoir:
Vn = V0.cos(/2)...*cos(/2^n)
Un = Vn.cos(/2^n),

on montre que vn.sin(/2^n) = v0.cos(/2).cos(/4)...*cos(/2^n)*sin(/2^n).
en utilisant la formule cos().sin() = sin(2)/2, et on montre que vn*sin(/2^n) = (1/2)^n*sin()*v0

tu peux donc écrire Vn = V0*sin()/((2^n)*sin(/2^n)
(pour plus de lisibilité, regarde la démo d'elhor).
Donc la limite de cette suite est connue, il suffit de savoir que la limite de sin(x)/x est 1 en 0. Ici, le numérateur est constant et vaut sin()/, et le dénominateur vaut sin(/2^n)/(/2^n) tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire lorsque /2^n tend vers 0.
Tu en déduis que la limite de Vn est v0.sin()/

Il ne reste plus qu'à trouver cette limite, en utilisant le fait que Un et Vn ont même limite, et en utilisant l'expression de Un en fonction de V0 et de qu'a donnée elhor.
Voilà j'espère que je t'ai éclairci du moins sur cette démo.

** ne lis pas ma première phrase c'est du n'importe quoi  **

ma dernière phrase est inutile.
Utilise le simple fait que l (limite de Un et de Vn) = V0.sin()/, et le fait que = arccos(u0/v0) pour trouver l'expression de l qu'a donnée elhor_abdelali

pour revenir aux tous 1ers posts, on a pas prouvé qu'elles étaient adjacentes car on n'a pas montré que lim un - vn = 0. Comment faire merci ?

Oui, effectivement.
Mais en utilisant les expressions de Un et Vn qu'a données elhor, on montre assez facilement que Vn-Un tend vers 0.

facilement ? L

facilement ? là je vois pas trop ...

Re-

Un = Vn.cos(/2^n), donc Vn - Un = Vn.(cos(/2^n)-1).
Or Vn est minorée décroissante (on l'a montré déja), donc converge vers une limite l. Donc lim Vn-Un = lim Vn.(cos(/2^n)-1) = l*0 = 0

Bonsoir yoyodada et kimiferrari ;

Je crois qu'il y'a un moyen de montrer que sans passer par les expressions en utilisées pour le calcul de la limite commune .

Je m'explique : en partant de on a

et donc

ce qui donne et une petite récurrence donne _{(sauf erreur bien entendu)}

Je crois qu'on peut même améliorer cette majoration en remarquant que

d'où , si je ne me trompe ,

ce qui donne une idée sur la rapidité de convergence des suites et vers leur limite commune. _{(sauf erreur bien entendu)}