bonjour...

comment ça "clairement" ?

il faut "démontrer"... par exemple que g est continue en "a"

soit a [0;1] et soit > 0

je te laisse me montrer qu'on peut trouver > 0 tel que etc...

mm

En fait je n'arrive pas à identifier vraiment le problème qui se pose au niveau de la continuité de g, vous voyez ce que je veux dire?

ah voilà... donc cela n'est pas "clair" comme tu le disais dans ton premier post !

il faut essayer de majorer |g(x)-g(a)| par pour x suffisamment proche de a.

c'est la seule méthode rigoureuse si on ne dispose pas de théorème puissant...

Mais pourquoi ne peut-on pas dire :
comme f est continue sur [0,1], alors g est bien définie (car 0xt1), et comme g est l'intégrale d'une fonction continue (de toute façon c'est obligé), alors g est continue sur son intervalle de définition.
Je me doute que mon raisonnement est faux, mais je ne sais pas où.

cite moi précisément le théorème de cours que tu utilises pour dire que l'intégrale d'une fonction continue de deux variables (car f(tx) est une fonction de deux variables) par rapport à l'une de ses variables (ici t) est continue par rapport à l'autre variable (ici x) ... ?

une autre méthode : puisque f est continue sur [0;1], elle admet une unique primitive F qui s'annule en 0 (et qui est dérivable, donc continue sur [0;1] )

pour x bloqué, quelle est la primitive par rapport à t de tf(tx) ? en fonction de F, bien sûr !)

Ah d'accord, donc le problème vient du fait que l'on a le "f(tx)".
Et quand peut-on affirmer que l'intégrale d'une fonction est une fonction continue?

cela n'a pas de sens ce que tu dis... la variable "externe " est-elle dans les bornes ? dans la fonction ?...

réponds plutôt à mon dernier post

La primitive par rapport à t de tf(tx) est F(tx)

pas vraiment, non...

si tu dérives F(tx) par rapport à t, cela te donnes quoi ?

euh non c'est (1/t)F(tx)

encore moins ! si tu dérives ce machin là par rapport à t, tu obtiens un horrible quotient avec du t² au dénominateur !

tu n'as pas compris la question je crois

si tu dérives F(tx) par rapport à t, cela te donne quoi ?

Ca donne f(tx)*x

je vais devoir quitter et  j'aimerais qu'on finisse cela...

dérivée de F(2t) ... ?
dérivée de F(3t) ... ?

dérivée de F(xt) par rapport à t ?

ah là d'accord

bon alors primitive par rapport à t de f(tx) ?

Donc c'est (1/x)F(tx)

bon

tu commences à voir le problème quand x est nul ?

donc pour x non nul, tu peux exprimer g(x) en fonction de F...

g(x)= ... calcule ton intégrale

puis calcule g(0) à part

Ah ok, donc le problème vient du fait que g(x)=(1/x)F(x)-(1/x)F(0).
D'où le problème en 0 c'est ça?

n'oublions pas que nous avons pris pour F la primitive de f s'annulant en 0 (c'est plus simple).

donc finalement :

pour x ]0;1], g(x) = ...

et g(0)= ...

c'est surtout que la méthode utilisant F ne fonctionne pas en 0... il faut calculer g(0) en remplaçant bêtement x par 0 !

g(x)=(1/x)F(x) et g(0)=lim en 0 de (F(x)-F(0))/(x-0)=F'(0)=f(0)
Juste pour comprendre, on aurait pu prendre par exempple la primitive de f qui s'annule en 5, mais si on prend celle qui s'annule en 0, l'expression de g est simplifiée, c'est bien ça?

bon je te laisse poursuivre... reviendrai plus tard...

la continuité de g sur ]0;1] découle simplement d'un quotient de fonctions continues.

quand à 0, il faut que tu étudies la limite de g(x) quand x tend vers 0 et voir si elle vaut g(0)...

NON...

pour calculer g(0) tu remplaces x par 0 dans ta définition de g... qu'est ce que c'est que cette histoire de limite ?

ensuite seulement tu montres que la limite en 0 vaut bien la même valeur (ça c'est ce que tu as écrit au-dessus)

pour la primitive, bien sûr que tu peux prendre n'importe laquelle... tu obtiendras le même résultat.

simplement avec la mienne, g(x)=F(x)/x pour x non nul... c'est plus simple à écrire...;. c'est tout

Donc on a g(0)=₀¹f(0)dt=f(0)

voilà !

et ensuite tu calcules la limite de F(x)/x en 0... et tu trouves, comme tu l'as dit précédemment, F'(0), c'est à dire f(0)... et tu en déduis que g est aussi continue en 0

MM

Je pense que vous avez deviné que c'était asssez flou pour moi, mais maintenant je pense avoir bien saisi le problème et la démarche, alors merci beaucoup de votre patience .

il n'y a pas de quoi... ce fût un plaisir.

si cela t'a aidé à clarifier les choses, c'est parfait.

A une prochaine fois peut-être.

alain