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exercice sur la convergence d'une suite
Bonjour, j'ai un exercice dans lequel je dois étudier la convergence la suite (a^n+b^n)^1/n avec a>0 et b>0.
J'ai calculer les termes de la suites en fixant a et b puis je me suis rendu compte que la suite convergeait toujours vers max{a,b}.
Je dois le démontrer et pour cela je souhaitais utiliser le théorème de la monotonie.
Lorsque a,b>=1, il faut montrer que la suite est décroissante et minorée. La minoration est simple à faire mais je n'arrive pas à montrer que la suite est décroissante.
Quelqu'un peut-il m'aider?
Bonjour,
Tu peux montrer qu'elle est croissante et majorée, pour ce faire:
Un=exp(1/n(ln(a^n+b^n))
Or pour tout n>1 a>0 b>0
(a+b)^n>a^n + b^n>0
ainsi ln etant croissant sur ]0,+
[
ln((a+b)^n=nln(a+b)>ln(a^n+b^n)
donc exp(1/n*nln(a+b) > exp(1/n(ln(a^n+b^n)) ( lexp etant croissante)
ainsi a+b > Un pour tout n>1
Un est croissante, car sa dérivée est stric positive ( se vérifie en 1 ligne 
)
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