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Exercice sur les complexes
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;
,
), on considère l'application f, qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que z'=z²-4z
1/ Soient A et B les points d'affixes zA= 1-i et zB= 3+i
a) Calculer les affixes des points A' et B' images des points A et B par f.
b) On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par symétrie centrale que l'on précisera.
2/ Soit I le point d'affixe -3
a) Démontrer que OMIM' est un parallélogramme si et seulement si z²-3z+3=0
b) Résoudre l'équation z²-3z+3=0
En espérant avoir votre aide, j'vous remercie d'avance.
Bonjour !
Justement comment faut- il faire ?
Il faut remplacer par zA dans z' ? puis par zB dans z' ?
Si je fais çà, je trouve que :
zA' = 2i-4
zB' = 2i-4
normal ?
Mais je ne vois pas du tout comment faire pour la question b)
1)
a)
z = 1-i
z' = z²-4z
z' = (1-i)²-4(1-i)
z' = 1 - 1 - 2i - 4 + 4i
z' = -4 + 2i
zA' = -4 + 2i
---
z = 3+i
z' = z²-4z
z' = (3+i)²-4(3+i)
z' = 9-1+6i-12-4i
z' = -4+2i
zB' = -4+2i
---
b)
z²-4z = (a+ib)
z²-4z -(a+ib)=0
z = 2 +/- V(4+a+ib) (V pour racine carrée)
Donc les points d'affixe z1 = 2 - V(4+a+ib) et z2 = 2 + V(4+a+ib) ont pour image le point d'affice z = a+ib
Si 4+a+ib = 0, alors les points sont confondus.
Si ce n'est pas le cas, ces points sont de symétrie centrale de centre d'affixe 2.
Les points d'affixe z1 = 2 + A + iB et z2 = 2 - A - iB ont la même image par f. (Avec A et B des réels quelconques)
exemple si A = -1 et B = -1, z1 = 1-i et z2 = 3+i ont la même image par f comme on l'a montré dans la parie a de l'exercice.
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2)
Vérifie l'énoncé.
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Sauf distraction. 
Bonjour
OMIM' est un parallélogramme si et seulement si
donc ssi
zM-zO = zI-zM'
z - 0 = -3 - (z²-4z)
z²-3z+3 = 0
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