bonjour
9x²+6x+5 = 9x²+6x+1+4 = (3x+1)²+4, positif quel que soit x

quand x tend vers plus l'infini ou vers moins l'infini, dans les deux cas, la valeur absolue de 3x+1 tend vers l'infini et aussi (3x+1)²+4 et f(x)
la fonction suit le même sens de variation que |3x+1
quand 3x+1 < 0, |3x+1| décroît
quand 3x+1 > 0, |3x+1| croît
la fonction décroit dans s]-innfini;-1/3], à son minimum quand x = -1/3 et croît dans [-1/3;+infini[

soit les nombres (-1/3 + a) et (-1/3 - a)
g(x) = (3x+1) vaut appliquée à ces nombres respectivement
-1+3a+1 = 3a et -1-3a+1 = -3a
h(x) = (3x+1)² appliquée aux mêmes nombres vaut 9 dans les deux cas
f(x) a donc également des valeurs égales appliquées à ces nombres
chaque point de la courbe a donc son symétrique dans la même courbe par rapport à la droite verticale d'abscisse -1/3, le point (-1/3;2) étant symétrique de lui-même

il est clair que 3x+1 est toujours inférieur à f(x), comme racine carrée d'un nombre plus petit
soit d un nombre aussi petit que l'on veut; il existe un nombre n, tel que pour tout x > n, 3x+1+d > f()
le carré de f(x) est 9x²+6x+5
le carré de 3x+1+d = 9x²+6x+1+d²+6dx+2d
par soustraction de ces carrés, il faut prouver que l'inéquation 1+d²+6dx+2d > 5 es possible
c'est évidemment vrai quand 6dx > 4 (quand x > 4/6d)
donc (D) se rapproche autant que l'on veut de la courbe de f(x) sans l'atteindre
quand x = -1/3, 3x+1 = 0; (C) et (D) se rencontrent en (-1/3;0) et forment entre elles un angle dont la tangente est 1/3

points de la droite y = 3x+1 et leur symétrique par rapport à (C)
(-1/3;0) -> (-1/3;0)
(0;1) -> (-2/3;1)
coefficient directeur de la droite symétrique (D') : (1-0)/(-2/3 - -1/3) = 1/(-1/3) = -3
soit z la coordonné du point de rencontre de (D')avec l'axe vertical
(0 - 1/3) / (0 - 2/3) = (z-0) / (Z-1)
1/2 = z/(z-1)
z-1 = 2z; z = -1
(D') a pour équation y = -3x-1
l'ensemble de la figure est symétrique; quand x tend vers moins l'infini, (D') se rapproche autant que l'on veut de la courbe de f(x) sans l'atteindre