Bonsoir,
Je dois résoudre un exercice sur les nombres complexes mais je bloque sur pas mal de questions et j'aimerais, si c'est possible, que vous y jetiez un petit coup d'oeil pour me donner des pistes...

Voici le sujet :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ).
Soient les points A, B et C d'affixes respectives i, 1 + i et - 1 + i.
f est l'application qui, à tout point M du plan différent de A, d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que :
z' = (iz + 2) / (z - i)

1. a. Déterminer les images de B et de C par l'application f.
   b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation : (z' - i)(z - i) = 1.
   c. Soit D le point d'affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (Unité graphique 4 cm).
2. Soit R un nombre réel strictement positif.
   Quelle est l'image par l'application f du cercle de centre A et de rayon R ?
3. Montrer que, si l'affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, l'affixe du point M' est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l'image par l'application f de l'axe imaginaire privé du point A ?
4. Soit (D) la droite passant par le point A et de vecteur directeur . Déterminer l'image de la droite (D) privée du point A par l'application f.


1. a. Au départ pour calculer z(B') et z(C'), j'avais remplacé z par les affixes données et j'avais trouvé comme résultat z(B') =  1 + i et z(C') = - 1 + i mais le résultat m'a paru bizarre de trouver les mêmes affixes. Donc j'ai recalculé z(B') en remplaçant z par (x + yi) et j'ai trouvé comme résultat z(B') = 1 - i et z(C') = 1 - i aussi. Je ne sais pas du tout si c'est bon...?

   b. Là je n'ai pas eu de pb, j'ai réussi à redémontrer la relation.

   c. J'ai utilisé la relation démontrée à la question précédante et j'ai trouvé z(D') = 0. Une fois encore ma réponse me paraît bizarre...

2. Pour cette question, J'ai commencé à faire ça mais je ne sais pas quoi faire après, est-ce que je dois mettre z(M) sous la forme x + yi ? J'ai essayé mais ça ne m'avance pas beaucoup...
M C(i ; R)
AM = R
| z(M) - z(A)| = R
| Z(M) - i| = R
?????????????

3. z = imaginaire pur i
z i et Re(z) = 0
z i et z = yi

z' = (iz + 2) / (z - i) soit en remplaçant z par yi : z' = (-i) * (-y + 2) / (y - 1).

(-y + 2) est un réel ; (y - 2) aussi donc (-y + 2) / (y - 1) est un réel.
L'affixe du point M' est donc de la forme -ib où b = (-y + 2) / (y - 1).
L'affixe du point M' est donc un imaginaire pur.

Par contre je n'ai pas trouvé ce que signifie ce résultat pour l'image par l'application f de l'axe imaginaire privé du point A.

4. Là je ne sais pas du tout...


Il y a beaucoup de choses que je n'arrive pas à faire... J'espère que vous accepterez de m'aider un peu... Merci d'avance.

Kimou