Salut henri2

Je te rappelle le petit théorème de Fermat :

Soit p un nombre premier et a un entier naturel
Alors a^p a mod(p)

De plus si pgcd(a,p)=1 alors a^(p-1) 1 mod(p)

1.
x^3 x mod(12)
ssi
x^3 x mod(3) et x^3 x mod(4)  (E)
(cela résulte directement du théorème de Gauss)

Or d'apres le petit théorème de Fermat, pour tout entier x on a x^3 x mod(3)

D'où
(E)
ssi
x^3 x mod(4)


Si x 0 mod(4) alors x^3 x mod(4)
Si x 1 mod(4) alors x^3 x mod(4)
Si x 2 mod(4) alors x^3 0 mod(4)
Si x 3 mod(4) alors x^3 x mod(4)

Donc
x^3 x mod(4)
ssi
x 2 mod(4)


2.a.

Puisque pgcd(n,7)=1 on a
n^6 1 mod(7) ie 7 divise n^6-1

2.b.

On a n^7 n mod(7)
donc 7 divise n(n^6-1)

On a n^2 n mod(2)
Donc n^7 (n^2)^3 . n n^3 n (n^2)^2 n^2 n mod(2)
donc 2 divise n(n^6-1)

On a n^3 n mod(3)
n^7 (n^3)^2 . n n^2 n n^3 n mod(3)
donc 3 divise n(n^6-1)

D'apres le théorème de Gauss puisque 2, 3 et 7 sont 2 à 2 premier entre eux on a
2.3.7 = 42 divise n(n^6-1)

De plus
84 divise n(n^6-1)
ssi
3 divise n(n^6-1) (tjs vrai)
7 divise n(n^6-1)  (tjs vrai)
4 divise n(n^6-1)
ssi
4 divise n(n^6-1)

Si n 0 mod(4) alors n(n^6-1) 0 mod(4)
Si n 1 mod(4) alors n(n^6-1) 0 mod(4)
Si n 2 mod(4) alors n(n^6-1) 2 mod(4)
Si n 3 mod(4) alors n(n^6-1) 0 mod(4)

Donc
4 divise n(n^6-1)
ssi
x 2 mod(4) ...

Merci beaucoup pour ton aide!

J'ai réussi à faire la question 4.

Par contre il me manque toujours la 3 et la question bonus! donc si quelqu'un pouvait m'aider ça serait gentil.

Merci d'avance

Resalut henri2

Tu es sur que la question 3 est juste

Contre exemple :
a=2;p=q=n=1

a^(ap+n) - a^(4q+n) = 2^3 - 2^5 = -24 qui n'est pas divisible par 30

Pour la question bonus, 1 + 2 + 2² + ... + 2^(p-2) est la somme de (p-1) termes consécutifs d'une suite géomètrique de raison 2 et de premier terme 1.


Donc
1 + 2 + 2² + ... + 2^(p-2)  = (2^(p-1)-1)/(2-1) = 2^(p-1)-1

or p est premier et pgcd(p;2)=1 donc 2^(p-1) 1 mod(p)
ie  p divise 2^(p-1)-1 = 1 + 2 + 2² + ... + 2^(p-2).

J'ai commis une erreur dans l'énoncé pour la question 3 !

3) Montrer que, quels que soient les naturels non nuls, a, n, p er q, le nombre a^(4p+n) - a^(4q+n) est divvisible par 30.

C'est a^(4p+n) et j'avais ecrit a^(ap+n) ! Désolé pour l'erreur !

On a :
a^(4p+n) - a^(4q+n) = a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

Si pgcd(a,2)=1 alors
a 1 mod(2)
Donc  (a^4)^p 1 mod(2)
et    (a^4)^q 1 mod(2)
Donc 2 divise (a^4)^p - (a^4)^q
Donc 2 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

Sinon 2 divise a donc 2 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

CCl1 : 2 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)


Si pgcd(a,3)=1 alors
a^2 1 mod(3)
Donc  (a^4)^p 1 mod(3)
et    (a^4)^q 1 mod(3)
Donc 3 divise (a^4)^p - (a^4)^q
Donc 3 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

Sinon 3 divise a donc 3 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

CCl2 : 3 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)


Si pgcd(a,5)=1 alors
a^4 1 mod(5)
Donc  (a^4)^p 1 mod(5)
et    (a^4)^q 1 mod(5)
Donc 5 divise (a^4)^p - (a^4)^q
Donc 5 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

Sinon 5 divise a donc 5 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

CCl3 : 5 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)


D'apres le théorème de Gauss, puisque 2, 3 et 5 sont premiers entre eux 2 à 2
2.3.5 = 30 divise a^n( (a^4)^p - (a^4)^q)

soit pun nombre premier(p est sup à 2) et a un entier non  
nul.
on note r1,r2,r3,....rp-1 les restes respectifs des divisions eucludiennes de a,2a,3a...'p-1)a par p.

partie A
on suppose ke a et p sont premiers entre eux.
1) demontrer que chacun des entiers r1,r2,...rp-1 sont deux à deux differents.
2) en deduire ke 1*2*...*(p-1)= r1*r2*...*rp-1
3)demontrer ke :1*2*...(p-1)*aexpo(p-1)modu1*2*....*(p-1)modp
4) aexpop-1  a mod(p)

partie B on suppose ke a et p ne sont pas premiers entre eux
1)demonter ke:aexpop-1  a modp
2)etablir le theorem de fermat

salut une petite colle encore, puissiez vous nous aider

monsieur claude doit expedier deux colis dans un pays ou un colis sur dix n'arrive jamais à destination.les colis valent respectiviement 100000f et 150000f.il hésite entre deux modes d'envoi:le premier mode consiste à envoyer les colis dans un seul paket et le deuxieme mode consiste à envoyer les deux colis dans deux pakets separés et independants.
soient X et Y les valeurs en francs des envois arrivés à bon port par chacune des deux modes d'envoi.
1) determiner les esperances mathematiques de ces deux variables aléatoires.
2) generaliser le probleme à n colis de valeurs x1,x2,...xn comparer un envoi groupé à n envois separés et independants

Salut aimso74

Partie A:

1.
Par l'absurde supposons que r1,r2,...rp-1 ne sont pas deux à deux differents.
Alors il existe i, j deux entiers compris entre 1 et p-1 tels que : ri=rj=r et ij
Or ri et rj sont les restes dans la division euclidienne de ia et ja par p
Donc
ia = p*q+r
ja = p*q'+r
Donc
(i-j)a=p(q-q')
Donc p divise (i-j)a
Or pgcd(a,p)=1 donc d'apres le théorème de Gauss, p divise (i-j)
De plus 1 <= i <=p-1 et 1 <= j <=p-1 donc :|i-j|<= p-2 (E)
Si ij alors p divise (i-j) implique que p<=|i-j| et on a une contradiction avec (E)
Donc nécéssairement i=j (contradiction)

Conclusion : r1,r2,...rp-1 sont deux à deux distincts.


2.
Puisque le reste dans la division euclidienne d'un entier par p ne peut prendre que les valeurs : 0, 1, 2, ...,p-1 ; il suffit simplement de montrer que r1,r2,...rp-1 sont tous distincts de 0

Par l'absurde supposons qu'il existe un entier i compris entre 1 et p-1 tel que ri=0
Alors p divise ia
Or p est premier avec a donc p divise i donc p<=i (contradiction)
Donc r1,r2,...rp-1 sont tous distincts de 0

Donc puisqu'ils sont distincts 2 à 2 on a :
{r1,r2,...rp-1} = {1,2,...,p-1}

Conclusion : r1*r2*...*rp-1 = 1*2*...*(p-1)


3.On a:
r1*r2*...*rp-1 1*2*...*(p-1) mod(p)
a*(2a)*...*(p-1)a 1*2*...*(p-1) mod(p)
1*2*...*(p-1)*a^(p-1) 1*2*...*(p-1) mod(p)
1*2*...*(p-1)*[a^(p-1) - 1] 0 mod(p)

Donc p divise 1*2*...*(p-1)*[a^(p-1) - 1]
Or p est premier donc pour tout entier i compris entre 1 et p-1, p est premier avec i
Donc p est premier avec 1*2*...*(p-1)
Donc p divise a^(p-1) - 1
Donc a^(p-1) 1  mod(p)

Partie B :

1.
Puisque a et p ne sont pas premiers entre eux et  que p est un nombre premier, p divise a
Donc a 0 mod(p)
Donc a^p 0 mod(p)
Donc a^p a mod(p)

2.
Soit a un entier naturel et p un nombre premier

  Si a est premier avec p alors :
  a^(p-1) 1  mod(p) donc a^p a  mod(p)

  Si a n'est pas premier avec p alors a^p a  mod(p)
On retrouve le petit théorème de Fermat ...

dit est ce quelquun peu me demontrer ke 1+2+3+....+n=n(n+1)/2 est vrai