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Exercices d'intégration

Posté par
Dr_Maricon 25-05-09 à 23:20

Bonjour,

depuis ce matin, je bute lamentablement sur les deux intégrales suivantes (à intégrer analytiquement):

(hum, bon, je ne suis pas encore très familier avec le LaTeX faut imaginé le signe d'intégration devant... désolé...)

\frac{sin 2t dt}{1+cos 2t}

et

t (ln² t) dt

Pour la première, j'avais d'abord essayer de m'en sortir en retournant dans tout les sens les formules trigonométriques bateau (comme sin² a + cos² a = 1), puis 36 changements de variables différent, impossible de tomber sur la solution...

Pour la seconde, alors là... Je patauge complètement, comment dégager ce vilain logarithme népérien au carré???


Merci en tout cas d'essayer de m'aiguiller vers une solution.

Posté par
Vashre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:28

Salut.

Est ce que tu peux indiquer les bornes s'il te plait?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:34

Bonsoir,

\frac{\sin\,2t}{1+\cos\,2t}=\tan\,t

Citation :
comment dégager ce vilain logarithme népérien au carré???


2 IPP successives peut-être...

Posté par
Vashre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:52

Il faut utiliser les formules de trigonométrie :
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) d'où cos(2t) = cos²(t) - sin²(t).
Ensuite on sait que cos²(t) + sin²(t) = 1 soit cos²(t) - sin²(t) = 1 - 2sin²(t)
On arrive donc a : cos(2t) = 1 - 2sin²(t).

Puis sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
D'ou sin(2t) = sin(t)cos(t) + cos(t)sin(t) = 2sin(t)cos(t).

Et : \frac{sin(2t)}{1+cos(2t)} = \frac{2sin(t)cos(t)}{2 - 2sin^{2}(t)} = \frac{sin(t)cos(t)}{1 - sin^{2}(t)} = \frac{sin(t)}{cos(t)} = tan(t)

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:55

@Vash, pour l'intégration numérique, je me débrouillerai merci (enfin, à titre d'info, les bornes sont [pi/6, pi/3] pour la première intégrale, et [1, 2] pour la seconde.

@cailloux: j'aurai aimé connaitre ton raisonnement pour avoir cette réponse, et aussi la signification de "IPP"

Merci beaucoup en tout cas pour vos réponses si rapides.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:56

IPP = intégration par parties.

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 25-05-09 à 23:59

Ha, merci Vash, j'était arrivé à la 2eme étape, mais je n'avais pas penser à simplifier les 2 dans le dénominateur (-_- honte à moi...).

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:01

@Cailloux, les 2 IPP; t et ln², puis ln et ln ? J'essaye tout de suite.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:04

Il faut faire sauter les ln:

d' abord u=(\ln(t))^2 et v'=t

puis ensuite u=\ln(t) et v'=t

Posté par
Vashre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:23

En faisant comme cailloux a dit j'ai trouvé :

\int_1^{2} tln^{2}(t)dt = [\frac{1}{2}t^{2}ln^{2}(t)]_{1}^{2} - [\frac{1}{2}t^{2}ln(t)]_{1}^{2} + \int_1^{2} \frac{1}{2}tdt

J'ai pu me tromper évidement, c'est a vérifier.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:25

>> Vash: trè juste

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:26

Rôôhh Très juste!

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:30

Heu... la seconde étape me reste très obscure...

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:49

Et le fait que le t dt à la fin de la solution soit positif me perturbe un petit peu.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 00:56

Bon, Vash est parti, je te bricole quelque chose...

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 01:07

I=\Bigint_1^2t\ln^2(t)\text{d}t

u=\ln^2(t) v'=t

u'=\frac{2\ln(t)}{t} v=\frac{t^2}{2}

I=\left[\frac{t^2}{2}\ln^2(t)\right]_1^2-\Bigint_1^2t\ln(t)\text{d}t

I=2\ln^2(2)-\Bigint_1^2t\ln(t)\text{d}t

u=\ln(t) v'=t

u'=\frac{1}{t} v=\frac{t^2}{2}

I=2\ln^2(2)-\left[\frac{t^2}{2}\ln(t)\right]_1^2+\Bigint_1^2\frac{t}{2}\text{d}t

I=2\ln^2(2)-2\ln(2)+\left[\frac{t^2}{4}\right]_1^2

I_2=2\ln^2(2)-2\ln(2)+\frac{3}{4}

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 01:52

Je vois maintenant, merci beaucoup d'avoir pris la peine de refaire tout çà pour moi .

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 11:46

Arf , je m'eus trompé....

Pour la première intégrale que j'ai posté, ce n'était pas

\frac{sin 2t dt}{1+cos 2t}

mais

\frac{sin 2t dt}{1+cos^2 t}

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 11:49

Evidemment, ça change tout

Au signe près, ce ne serait pas de la forme \frac{u'}{u} ?

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 12:22

J'avoue ne pas te suivre là.

Posté par
agnesire : Exercices d'intégration 26-05-09 à 13:22

Bonjour;

(\ln{u})^'=\frac{u^'}{u}

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 13:28

Voyons:

en posant u(t)=1+\cos^2(t)

u'(t)=-2\,\sin\,t\,\cos\,t=-\,\sin\,2t

Si bien que \frac{\sin\,2t}{1+\cos^2t}= -\frac{u'(t)}{u(t)}

et qu' une primitive de la fonction t\mapsto \frac{\sin\,2t}{1+\cos^2t} est -\ln\left(1+\cos^2t\right)

Posté par
Dr_Mariconre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 14:25

:| c'était tellement idiot, je me demande encore comment je suis passé à coté -_- ...

Mille fois merci en tout cas.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercices d'intégration 26-05-09 à 15:24


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