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Exercices Primitives

Posté par
SHEEL 30-04-16 à 08:57

Bonjour,
J'aurai besoin d'une petite aide pour me débloquer par ici:
> Voici la fonction dont je dois calculer la primitive:

1/ [ cos(x)*( sin(x) )^4 ]

Pour cela j'utilise tout simplement u = sin(x) => du = cos(x) dx <-> dx = du /cos(x)
Ensuite, j'arrive à cette forme: int. >>>  du / [ u^4(1 - u^2) ]
1 / [ u^4(1 - u^2) ] = (a1/u^4) + (a2/u^3) + (a3/u^2) + (a4/u) + ( b1/(1-u) ) + ( b2/(1+u) )

Après quoi, je fais comme dans mon cours pour trouver mes numérateurs:
J'obtiens a1 = 1, b1 = 1/2, b2 = -1/2, a4 = 0, seulement c'est A PARTIR DE LA QUE JE NE VOIS PLUS QUELLE METHODE UTILISE...pour trouver a2 et a3...je veux dire!
Please Help me !


PS: Je voulais aussi remercier la personne qui m'a aidé hier soir (Pirho) !

Posté par
Razesre : Exercices Primitives 30-04-16 à 09:07

Vous avez posé: u=\sin(x) et du = \cos(x) dx

Donc

\int \cos(x)\sin^4(x)dx=\int u^{4}du

Posté par
Razesre : Exercices Primitives 30-04-16 à 09:09

\int \cos(x)\sin^4(x)dx=\int \sin^4(x)\cos(x)dx=\int u^{4}du

Posté par
SHEELre : Exercices Primitives 30-04-16 à 09:16

euh...ça je le savais déjà! ^^'
Moi, je voudrais un peu d'aide pour 1/(cos*sin^4)!

Posté par
SHEELre : Exercices Primitives 30-04-16 à 09:39

Je n'arrive pas à trouver a2 et a3, est ce que vous pourriez me donner un petit coup de main!

Posté par
SHEELre : Exercices Primitives 30-04-16 à 10:01

shihihihi
J'ai fini par trouver de moi même mais merci qu'en même!

Posté par
Razesre : Exercices Primitives 30-04-16 à 10:12

Excuse moi, je n'ai pas vu le 1.

Posté par
Razesre : Exercices Primitives 30-04-16 à 10:25

\frac{1}{u^4(1 - u^2)}= \frac{a_{4}}{u^4} +\frac{a_{3}}{u^3}+\frac{a_{2}}{u^2}+ \frac{b_1}{1-u}+ \frac{b_2}{1+u}

On peut l'écrire ainsi:

a_{4}(1 - u^2)+a_{3}u(1 - u^2)+a_{2}u^2(1 - u^2)+a_{1}u^3(1 - u^2)+b_1u^4(1 + u)+b_2u^4(1 - u)=1

Pour u=1 ----->
Pour u=-1 ----->

Posté par
lafol Moderateurre : Exercices Primitives 30-04-16 à 11:01

Bonjour
la méthode, dans ce genre de situation, pour obtenir d'un seul coup d'un seul les coeffs a_1 à a_4, c'est la division de 1 par 1-u² selon les puissances croissantes : 1 = (a_1 + a_2u + a_3u^2+a_4u^3)(1-u^2) + u^4R(u)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Exercices Primitives 30-04-16 à 11:03

1/ [ cos(x)*( sin(x) )^4 ] = cos(x)/[ cos²(x)*( sin(x) )^4 ] =  cos(x)/[ (1 - sin²(x)) *( sin(x) )^4 ] = cos(x)/[sin^4(x) - sin^6(x))]

Poser sin(x) = t
cos(x) dx = dt

S 1/ [ cos(x)*( sin(x) )^4 ] dx = S dt/(t^4-t6)= S dt/[t^4(1-t)(1+t)]

1/[t^4(1-t)(1+t)] = A/(1-t) + B/(1+t) + (Ct²+Dt+E)/t^4

A(1+t).t^4 + B(1-t).t^4 + (Ct²+Dt+E)*(1-t²) = 1

At^5 + At^4 + Bt^4 - Bt^5 + Ct²+Dt+E - Ct^4 - Dt³ - Et² = 1

t^5(A-B) + t^4(A+B-C) + t³(-D) + t²(C-E) + t.D + E = 1

A-B = 0
A+B-C = 0
D = 0
C-E = 0
E = 1

A = 1/2, B = 1/2   C = 1 , D = 0, E = 1

S dt/[t^4(1-t)(1+t)] = S ((1/2)/(1-t) + (1/2)/(1+t) + (t²+1)/t^4) dt

S dt/[t^4(1-t)(1+t)] = -(1/2).ln|1-t| + (1/2).ln|1+t| - 1/t - 1/(3t³)

S 1/ [ cos(x)*( sin(x) )^4 ] dx = (1/2).ln|(1+sin(x))/(1-sin(x)| - 1/sin(x) - 1/(3.sin³(x))

Avec les précautions d'usage sur le domaine.

Sauf distraction  

Posté par
lafol Moderateurre : Exercices Primitives 30-04-16 à 17:14

JP, tu as de la chance qu'ici il n'y ait pas eu de terme en 1/t ... ok ça se voit dès le départ puisque la fraction est en fait en T = t²... mais si on l'a vu on se passe aussi de ce que tu as nommé D ...

Ici pas besoin de méthode générale, ouvrir les yeux suffisait : \dfrac{1}{u^4(1-u^2)} = \dfrac{1-u^2+u^2}{u^4(1-u^2)} = \dfrac{1}{u^4} + \dfrac{1}{u^2(1-u^2)} = \dfrac{1}{u^4} + \dfrac{1-u^2+u^2}{u^2(1-u^2)} = \dfrac{1}{u^4} + \dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{(1-u^2)}

méthode classique pour décomposer encore la dernière fraction, ou reconnaître directement de l'argth...

Posté par
Pirhore : Exercices Primitives 30-04-16 à 18:18

Bonjour,

Autre méthode, un peu tordue sans doute, mais qui conduit rapidement au résultat :

\dfrac{1}{cos(x)sin^4(x)}=\dfrac{(sin^2(x)+cos^2(x))^2}{cos(x)sin^4(x))}=\dfrac{sin^4(x)+2sin^2(x)cos^2(x)+cos^4(x)}{cos(x)sin^4(x)}

=\dfrac{1}{cos(x)}+\dfrac{2cos(x)}{sin^2(x)})+\dfrac{cos(x)(1-sin^2(x))}{sin^4(x)}

Ensuite poser pour :

la 1re fraction u=tan(\dfrac{x}{2})

les 2ème  et 3ème fraction u=sin(x)


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