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Existence d'une intégrale
Bonjour,
Je voudrais montrer l'existence de l'intégrale :
Merci d'avance
David
Bonjour,
Par définition, ton intégrale converge si est finie.
Comme on connait les primitives de la fonction t
exp(-2t), ca ne doit pas etre si compliqué.
Ou bloques-tu ?
Je me suis trompé, c'est t². Mais, pour l'existence, il suffit de montrer qu'on connaît une primitive ?
Tu peux, par exemple, dire que , donc par comparaison avec une fonction puissance, comme 2 > 1, ta fonction est intégrable.
Ah, je ne savais pas qu'on pouvait le faire aussi avec les intégrales; Je l'avais découvert (récemment) pour les séries.
Merci Narhm et Cyprien, ça va aller je pense. Bonne soirée 
Mais, pour l'existence, il suffit de montrer qu'on connaît une primitive ?
Non.
Si on appelle f l'intégrande, alors tu sais que f est continue sur R donc f est intégrable sur tout segment de R.
Mais il faut ensuite s'assurer qu'au voisinage de +oo, ton intégrale sera bien convergente.
L'idée de Cyprien est très bien.
Si tu veux une autre idée qui utilise ce qu'on disait au tout début :
En utilisant la majoration, pour tout t>1, exp(-t²)<exp(-t), on s'en sort très facilement.
Merci pour ta réponse.
Dans ton exemple, on considère que la première intégrale converge et que la seconde est inférieure à un intégrale convergeant vers 1/e, donc convergeante ? (J'ai un petit doute juste pour la première)
Oui oui,
les bons arguments sont :
* La première intégrale converge puisque f est continue sur [0,1].
* Comme f est positive et pour tout t
1, ,
. Puis par passage à la limite...
Merci, mais la fonction est aussi continue sur [1,n], cela ne permet pourtant pas de dire qu'elle converge, si ?
Elle converge sur tout intervalle [1,n] : oui.
Pour vraiment te convaincre, on va poser sur
.
F est postive dérivable et croissante puisque f est positive et continue sur 
.
Comme F est majorée par 1/e sur [1,+oo[, elle admet une limite finie en +oo. (ok ?)
Et ca, ca veut bien dire que , donc que notre intégrale converge.
Pour répondre plus généralement à ta question, c'est pas parce qu'une fonction est continue sur [a,b[ que son intégrale va converger sur [a,b[.
Prends f(t)=1/t sur [1,+oo[, son intégrale sur [1,+oo[ diverge.
Ok, merci Narhm. Donc il faut que la fonction soit continue croissante majorée ou continue décroissante minorée pour que ce soit vrai. (absolument ?)
Je ne saisis pas trop ta question.
Tu veux trouver des conditions pour que f soit intégrable ?
Dans mon exemple f(t)=1/t, tu vois que f est continue décroissante et minorée sur [1,+oo[, seulement son intégrale diverge sur [1,+oo[.
Il faut toujours vérifier qu'une fonction est bien intégrable, ca ne se voit pas à sa tete. Pour ca on a plusieurs outils à notre disposition.
- Cyprien t'en a montré un.
- Moi je passe par la définition.
Redis nous si tu ne comprends toujours pas.
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