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Existence d'une unique solution

Posté par
Leitoo 02-09-09 à 14:33

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, seulement je bloque dès la première question :

Démontrer pour tout entier n >= 1, l'existence d'une unique solution réelle >= 0 de l'équation :

x^n + x^(n-1) + ... + x - 1 = 0

Mais je n'y arrive pas, je ne vois pas vraiment ce que je dois utiliser. Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 14:39

Bonjour

L'existence est immédiate, puisque pour x=0 c'est strictement négatif et ça tend vers +\infty quand x tend vers +\infty

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 14:41

Merci beaucoup, et pour l'unicité comment dois je procéder ?

Posté par
1 Schumi 1re : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 14:54

En posant f(x)=x^n+...+x-1, tu as que f est strictement croissante sur R+. D'où l'unicité...

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 14:59

Oui c'est vrai, c'est bête... mais comment justifie ton cette monotonie sur [0;+oo[

Posté par
1 Schumi 1re : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 15:07

Euh... ben f s'écrit comme somme de n fonctions strictement croissantes et d'une fonction constante. Donc bref, c'est strictement croissant...

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 15:13

Merci beaucoup, je crois que ces vacances m'ont grillé le cerveau.

Il faut ensuite que je démontre que 0 =< la suite des solutions: u(n) =< 1 et que je montre que cette suite est décroissante.

Pour l'inégalité, je vois que si c'est supérieur à 1 les x^n vont être trop grand, en plus c'est une somme, mais je ne vois pas comment le rédiger.

Pour la décroissance, j'ai calculé le premier et deuxième cela marche bien, mais je ne vois pas non plus.

Désolé de bombarder de question, mais j'aimerai comprendre.
Merci beaoucp pour cette rapidité

Posté par
badr_210re : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 17:27

Salut

-pour l'inégalité il suffit d'appliquer  le TVI

-pour la  décroissance  faut  remarquer  que  : f_{n+1}(x)\geq f_n(x) pour tout  x de R

donc f_{n+1}(u_{n+1})\geq f_n(u_{n+1})

d'où f_{n}(u_{n})\geq f_n(u_{n+1})  

car f_{n+1}(u_{n+1})= f_n(u_n)=0

par conséquent   u_n \geq u_{n+1}   car f est croissante

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 17:41

Merci beaucoup pour la réponse, très bonne explication =)

Et pour le théorème des valeurs intermédiaire c'est vrai que je l'avais un peu oublié.

Je saute quelques question que j'ai réussi.

Je dois alors montrer que u(n)^(n+1) - 2u(n) + 1 = 0. Là encore je ne vois pas par ou commencer. Je ne veux pas une solution, une aide me serait plus utile.=

Merci a tous.

Posté par
badr_210re : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 17:49

Re Salut

en fait :   x^n+x^{n-1}+...+x+1 = \frac{ x^{n+1}-1 }{x-1}

Applique  cela sur u_n tout en remarquant que u_n^n+u_n^{n-1}+...+u_n+1 =2

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 18:02

J'avais pensé a factoriser, mais je ne voyais pas comment... Merci pour l'astuce.

Je dois ensuite calculer u(2) je trouve ( -1 + sqrt(5) )/2 ca doit être correct.

Il m'est demandé de montrer que u(n) tend vers 1/2:
En passant à la limite que l'on note l (qui existe car u(n) est décroissante minorée) dans u(n)^(n+1) - 2u(n) + 1 = 0 on a -2*l + 1 = 0 d'ou le résultat, est ce correct ?

On pose E(n) = u(n) - 1/2 démontrer que n*E(n) tend vers 0 en +oo Là je ne vois pas trop, j'ai une forme indéterminée...

Encore merci badr_210 de ton aide

Posté par
badr_210re : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 18:49

pas de quoi Leitoo

pour tout n > 1    : 0 \leq u_n \leq u_2    (car  (u_n )est décroissante et minorée par 0 )

Donc 0 \leq u_n^{n+1} \leq u_2^{n+1}

Or \lim_{n\rightarrow +\infty}u_2^{n+1}=0

d'où   \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n^{n+1} = 0 selon les critères de convergences

On en déduit que   \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=\frac{1}{2}

d'après u_n^{n+1} - 2u_n + 1 = 0

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 02-09-09 à 18:54

Oui c'était implicite dans mon raisonnement. Je voulais juste savoir s'il était possible de faire ce que j'ai fait. Merci

On pose E(n) = u(n) - 1/2 démontrer que n*E(n) tend vers 0 en +oo Là je ne vois pas trop, j'ai une forme indéterminée... J'ai pensé a utiliser un développement limité mais je ne vois pas comment. ?!

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 03-09-09 à 14:06

Up, On pose E(n) = u(n) - 1/2 démontrer que n*E(n) tend vers 0 en +oo Là je ne vois pas trop, j'ai une forme indéterminée... J'ai pensé a utiliser un développement limité mais je ne vois pas comment. ?!


plusieurs question plus tard on me demande de démontrer que l'inégalité (1) et équivalente a l'inégalité (2)

(1)  u(n) =< \frac{1}{2}+\frac{1}{2n}

(2) \frac{1}{2^n^+^1} \leq \frac{n^n}{(n+1)^n^+^1}

En utilisant gn(x)=(x-1)fn(x)  ou fn(x)=x^n+...+x-1


En calculant gn(u(n)) on trouve = 0

en posant b = \frac{1}{2}+\frac{1}{2n} = \frac{n+1}{2n}

puis gn(x) = (1-x) * (x^n+x^(n-1)+...+x+1-2) = x^(n+1)-2x+1   en utilisant les formules du binome de Newtnon

en remplacant x par b je n'arrive pas au résultat, quelqu'un pourrait m'aider ?

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 03-09-09 à 14:34

J'arrive à

\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}n{n+1}}-\frac{(n+1}{n} < 1

Au lieu de

\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}n{n}} < 1


Quelqu'un saurait m'aider ?! Merci d'avance

Posté par
Leitoore : Existence d'une unique solution 03-09-09 à 14:35

Désolé pour les dénominateur, il manque des puissance c'est * n^(n+1) pour le premier et non nn+1
et pour le second n^n et non nn


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