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exo calcul differentielle

Posté par
freddou06 10-12-09 à 16:26

Bonjour ! voila jai cet exo et je comprend pas grand chose..

Soit f : R3 ---> R;

f(x,y,z) = \frac{xy^2}{z^3} si z 0 ,
et 0 sinon.

a) Calculer (si possible) toutes les derivées directionnelles en (1,1,1) et en (0,0,0).

b) Est ce que f est differentiable en (1,1,1), en (0,0,0)?

Pour la a) j'ai fait la premiere partie, j'utilise la formule:

\frac{df}{dv}(a) =lim(t-->0) \frac{f(a+tv)-f(a)}{t} et j'ai obtenue:
pour tous v=(x,y,z)


\frac{df}{dv}(1,1,1) = x + 2y -3z..

quelqu'un peut il m'aider pour les derivées directionnelles en (0,0,0) et pour la b) svp

jai fait cela pour (0,0,0) mais bon je ne suis pas sur que c'est correct:
il y a 2 cas, d'abord v tel que z 0
\frac{df}{dv}(0,0,0) = lim(t-->0)\frac{f((0,0,0)+tv)-f(0,0,0)}{t} = lim(t-->0)\frac{\frac{txt^2y^2}{t^3z^3}}{t}
=lim(t-->0)\frac{xy^2}{tz^3} or cette limite n'existe pas (car ca tend vers l'infini donc la derive directionnelle n'existe pas pour v tel que z 0

2eme cas:
pour v de la forme (x,y,0)
\frac{df}{dv}(0,0,0) = 0

donc la derivee directionnelle en (0,0,0) n'existe que pour v de la forme (x,y,z)?!
merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteurre : exo calcul differentielle 10-12-09 à 16:32

Bonjour

C'est correct.

Posté par
freddou06re : exo calcul differentielle 10-12-09 à 16:36

salut camelia
dans la derniere phrase je voulais dire pour v de la forme (x,y,0)

sinon pour la b) comment je dois proceder?

Posté par
Camélia Correcteurre : exo calcul differentielle 10-12-09 à 16:42

Une remarque: il vaudrait mieux garder (x,y,z) pour les variables et de noter autrement les vecteurs. (t,u,v) par exemple.

Pour (0,0,0) comme il n'y a pas des dérivées dans toutes les directions, c'est sur que ce n'est pas différentiable.

Pour (1,1,1) ça dépend un peu de ce que tu as comme théorèmes... C'est clair que dès que z\neq 0 il y a des dérivées partielles continues au point (x,y,z) donc différentiable. Si tu n'as pas ça, montre à la main que \varphi(h,k,l)=h+2k-3l vérifie la définition.

f(1+h,1+k,1+l)=f(1,1,1)+\varphi(h,k,l)+||(h,k,l)||\varepsilon(h,k,l)

avec \varepsilon tendant vers 0.

Posté par
freddou06re : exo calcul differentielle 10-12-09 à 17:11

ok moi jai la def suivante:
Soient f :U--->F ou U ouvert de E et (E,||.||E),(F,||.||F) evn.
Soit a U. On dit que f est differentiable en a U sil existe l Lc(E,F) tel que x U , on a:

f(a+h) = f(a)+l(h)+||h||E(h) avec hU-a = {x-a/xU} et lim(h-->0)(h)=0

ca ressemble a ce que ta ecrit a la fin

j'ai aussi deja defini les derivée partielle mais je nai pas encore vu le lien avec la differentiabilité

Posté par
Camélia Correcteurre : exo calcul differentielle 11-12-09 à 14:27

Bon, c'est exactement ce que j'ai écrit à la fin...


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