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exo de DM sur complexes

Posté par munich (invité) 04-10-07 à 18:39

Notre prof de maths nous a donné un Dm pour demain et j'arrive pas deux exo
I-
Le plan Complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O; u,v) On désigne par A le point d'Affixe i.
A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe M' d'affixe z' définie par: z'= z²/i-z

1/ Déterminer le spoints M confondus avec leurs image M'
2/ Etant donné un complexe z distinct de , on pose z=x+iy et z'=x'+iy avec x, x', y, y' réels.
Montrer que x'= [-x(x²+y²-2)]/ [x²+(1-y)²]
En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires pirs

3/ Trouver une relation simple liant les longeurs OM, AM et OM'
En déduire l'ensemble F des points du plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O

4/ Dans toute cette question on considère un points M d'affixe z, situé sur le cercle de centre A et de rayon 1/2
M' est le point d'affixe z' correspondant et G l'isobarycentre des points A,M,M'
Calculer l'affixe zde G en fonction de z
Montrer que G est situé sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon

Le deuxième arrive tout de suite
Merci d'avance

Posté par
veledare : exo de DM sur complexes 05-10-07 à 16:31

bonjour,
tu as cherché le1)?z'=z<=>z²/(i-z)=z<=>z²=z(i-z)<=>z(z+z-i)=0 donc ou bien z=0 ou bien z=i/2

Posté par
veledare : exo de DM sur complexes 05-10-07 à 16:41

je ne trouve pas tout à fait ce que donne le texte pour x' je me suis peut être trompée
au numérateur je trouve -x(x²+y²-2y) tu fais le calcul et l'on comparera

pour trouver E tu écris que c'est l'ensemble des points dont la partie réelle x' est nulle

Posté par
cailloux Correcteurre : exo de DM sur complexes 05-10-07 à 16:42

Bonjour,

1) z=z' \Longleftrightarrow z(i-z)=z^2\Longleftrightarrow z(2z-i)=0

\{z_1=0\\z_2=\frac{i}{2}

2) z'=x'+iy'=\frac{(x+iy)^2}{-x+i(1-y)}=\frac{[x^2-y^2+2ixy][-x-i(1-y)]}{x^2+(1-y)^2}=\frac{-x(x^2-y^2+2xy(1-y)+i[-2x^2y-(x^2-y^2)(1-y)]}{x^2+(1-y)^2}

et z'=x'+iy'=\frac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2}+\frac{-y^3-x^2y-x^2+y^2}{x^2+(1-y)^2}i

d' où x'=\frac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2} (une erreur d' énoncé)

M' sur l' axe des imaginaires purs \Longleftrightarrow Re(z')=x'=0\Longleftrightarrow\{x=0\\\text{ou}\\x^2+y^2-2y=0\}\Longleftrightarrow\{x=0\\\text{ou}\\x^2+(y-1)^2=1

E est donc la réunion de l' axe des imaginaires privé de A et du cercle de centre A et de rayon 1.

3) OM=|z|

AM=|z-i|

OM'=|z'|=\frac{|z|^2}{|i-z|}=\frac{OM^2}{AM}

OM=OM'\Longrightarrow AM=OM et F est donc la médiatrice de [OA]

4) M appartient au cercle de centre A et de rayon \frac{1}{2} donc |z-i|=\frac{1}{2}.

z_G=\frac{z_A+z_M+z_{M'}}{3}=\frac{i+z+\frac{z^2}{i-z}}{3}=\frac{-1-z^2+z^2}{3(i-z)}=\frac{1}{3(z-i)}

En passant aux modules: |z_G|=\frac{1}{3|z-i|}=\frac{2}{3}

On en déduit que G appartient au cercle de centre O et de rayon \frac{2}{3}

Posté par
cailloux Correcteurre : exo de DM sur complexes 05-10-07 à 16:44

Bonjour Veleda


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