Exercice 1
Soit f définie sur R par : f(x)=ln( (2e(2x)+1)/(e(x)+2) )
C sa courbe représentative

1)a)Déterminer la limite de f en -°°.

b)Montrer que pour tout réel x, on a
f(x)=x+ln2+ln*( (1+0,5*e(-2x))/(1+2e(-x)) )
j'ai remplacé 1/2 par 0,5 car ca faisait lourd.

c)En déduire la limite de f en +°°.

d)Montrer que C admet la droite D d'équation y=x+ln2 pour asymptote oblique.

2)a)Résoudre l'équation f(x)=-ln2
étudier la position relative de C avec son asymptote horizontale d.

b)Montrer que pour tout réel x on a :
f(x)=x+ln2+ln*( (2e(2x)+1)/(2e(2x)+4e(x) )

c)Résoudre l'équation : ln*( (2e(2x)+1)/(2e(2x)+4e(x) )=0
étudier la position relative de C avec son asymptote oblique D.

3)a)Montrer que pour tout reel x on a
f'(x)=[e(x)*(2e(2x)+8e(x)-1)]/[(2e(2x)+1)*(e(x)+2)]

b)Résoudre 2e(2x)+8e(x)-1=0
étudier la signe de f(x)

c)En déduire les variations et montrer que pour tout réel x on a:
f(x) est supérieur ou égal à ln(6(V2)-8)    
V réprensente la racine carrée

4)a)Résoudre l'inéquation f(x)>x

b)Déterminer une équation de T,tangeante a la courbe au point d'abscisse
0;
étudier la position relative de C et de sa tangeante T.