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exo etude de fonction ln
bonjour a tous voici le probleme ou je suis bloque
on considere la fonction numerique f definie qur l entervalle ]0;+infini[par:
f(x)=x+1-(2x+1)lnx
1) calculer f' et f'' derivées et derivées secondes
2)determiner le sens de variation de f'
en de duir que pour tout x>0, f'(x)<0
3)indiquer le sens de variation de f
4)determiner les limites aux bornes de Df
5)demontrer qu il existe un et un seul reel alpha tel que f(alpha)=0
donner sa valeur decimale a 10^-2 près par defaut en precisant la methode utilisée
6)donner le signe de f(x) selon les valeurs de x
a la question 1
f'(x)=-1-1/x-2lnx
f''(x)=(1-2x)/x²
a la question 2 je pense que f' est decroissante mais comment en deduire le reste ?
merci de votre aide
bonjour lerab51
l'étude f"(x) montre que f'(x) est tjs négative puisque f'(1/2) < 0 => f décroissante
A vérifier
salut
Q2- f''>0 pour ]0,1/2[ donc f' croissante
f''<0 pour ]1/2,inf[ donc f' decroissante
en x =1/2 on a un max et f'(1/2)<0 donc qqsoit x>0 on a f'<0
Q3- f'<0 donc f decroissante
1)
f(x)=x+1-(2x+1)ln(x)
f '(x) = 1 - 2ln(x) - (2x+1)/x
f '(x) = (x-2x-1)/x - 2ln(x)
f '(x) = -(x+1)/x - 2ln(x)
f ''(x) = -(x-x-1)/x² - 2/x
f ''(x) = 1/x² - 2/x
f ''(x) = (1-2x)/x²
-----
f ''(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1/2[ --> f '(x) est croissante.
f ''(x) = 0 pour x dans = 1/2.
f ''(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; +oo[ --> f '(x) est décroissante.
Il y a un maximun de f '(x) pour x = 1/2, ce max vaut f '(1/2) = -3 - 2ln(1/2) = -1,6....
Et donc f '(x) < 0 sur ]0 ; -oo[ --> f(x) est décroissante.
-----
f(x)=x+1-(2x+1)ln(x)
lim(x-> 0+) f(x) = 0+1-ln(0+) = +oo
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [x(1 + 1/x - (2+1/x).ln(x))]
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [x(1 - 2.ln(x))] = +oo * (1 - oo) = -oo
-----
Avec:
f(x) continue et décroissante ]0 ; +oo[
lim(x-> 0+) f(x) = +oo
lim(x-> +oo) f(x) = -oo
On conclut qu'il y a un et un seul alpha sur ]0 ; +oo[ pour lequel f(alpha) = 0
On peut approcher alpha par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique).
On trouve alpha = 1,84 à moins de 0,01 près.
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f(x) > 0 pour x dans ]0 ; alpha[
f(x) = 0 pour x = alpha
f(x) < 0 pour x dans ]alpha ; +oo[
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Sauf distraction.
la question 2 me posait probleme pour le reste j ai trouvé la meme chose 1.84 par la methode dichotomique c est bon
merci pour tout et a bientot
voici la suite de l exo
etude de la fonction numerique g definie sur l intervalle ]0;+infini[ par:
g(x)=lnx /(x²+x)
on designe par Cg la courbe representative de g dans le plan rapporté au repere orthonormal (o;i;j)
tel que ||i||=4 et ||j||=12
1)determiner le sens de variation de g (on montrera que g'(x) a le meme signe que f(x))
verifier que g(alpha)=1/(alpha(2alpha+1))
2)determiner les limites de g aux bornes de l intervalle de definition;
interpreter geometriquement ces resultats
3)tracer la courbe Cg et sa tangente au point d'ascisse 1
normalement je vais y arriver je vous redemande si ce n est pas le cas
merci beaucoup
je n arrive pas a verifier que g(alpha)=1/(alpha(2alpha+1))
merci de votre aide
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