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Exo intégrales
Bonjour à tous,
J'ai un exercice sur les intégrales qui me pose un certain nombre de problèmes...
Soit f(x)=[intégrale entre 0 et pi/2 de..](dt/(1+xsint))
Montrer les égalités suivantes :
f(x)=(arccos x)/(sqrt(1-x²)) pour -1<x<1
f(x)=(ln(x+sqrt(x²-1)))/(sqrt(x²-1)) pour x supérieur à 1
Merci de votre aide.
Matheuxx
Bonjour.
Posons u = tan()
Alors :
L'intégrale devient :
Le dénominateur u² + 2xu + 1 s'écrit aussi : (u + x)² - (x² - 1)
1°) Si |x| > 1
Alors, x² - 1 > 0 et :
En décomposant en éléments simples :
Il ne reste qu'à intégrer en deux logarithmes.
2°) Si |x| < 1
Alors, 1 - x² > 0 et l'on a alors (u + x)² + (1 - x²) du type : v² + a², avec v = u + x et a =
Dans ce cas une intégration classique en Arctangente donne la réponse.
3°) Si |x| = 1
Alors, on étudie séparément les cas x = 1 et x = -1 ...
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