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EXO L1 approche de sin(x) par une série

Posté par
macjblowman 14-03-10 à 13:03

bonjour
dans le cadre d'un exo on doit démontrer le resultat suivant

\sum_{i=0}^n(-1)^kx_k = sin(x) lorsque n tend vers

avex x_n=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} et 0<x<1
on doit utiliser taylor lagrange
pour le resoudre j'ai posé x_0=x et j'ai fait le devellopement limité du sinus en ce point
mais je ne vois pas comment montrer le résultat en effet en faisant developement du sinus en x_0
il ya a des cos(x0) et des sin(x0) a qui apparaissent et je n'ai pas d'autre iddée
merci de votre aide...

Posté par
Camélia Correcteurre : EXO L1 approche de sin(x) par une série 14-03-10 à 15:05

Bonjour

Ecris Taylor Lagrange sur [0,x]

Posté par
macjblowmanre : EXO L1 approche de sin(x) par une série 14-03-10 à 22:03

merci de ta réponse ,masi j'ai quelques problémes avec le concept
comment puis je utiliser la formule de taylor en 0 puisque 0<x<1
en fait mes problémes sont assez profond sur ce sujet je vais essayer de les exposer clairement

lorsqure l'on utilise la formule de taylor il faut se placet en un point a bien defini dans l'intervalle d'étude et non aux extrémités  ,j'ai rencontré ce probléme dans un exo ou il fallait prouver une inégalité
pour tout x>0 or comme on devait montrer l'egalité sur x>0 on ne peut pas utiliser la formule en 0 et sa me donnait toujours des choses afreusement compliqués

donc sa m'aiderait bien quelques petit eclaircissement
merci bien

Posté par
Camélia Correcteurre : EXO L1 approche de sin(x) par une série 14-03-10 à 22:35

L'intervalle d'étude est R.

J'ai bien le droit de prendre a=0, 0 < x < 1 et d'appliquer la formule sur [a;x]

On a \sin^{(2k)}(0)=0 et \sin^{(2k+1)}(0)=(-1)^{k} Donc il existe \theta_n\in]0;x[ tel que

\sin(x)=\bigsum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2n+1)!}+\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!)}\sin^{(2n+2)}(\theta_n)

Posté par
macjblowmanre : EXO L1 approche de sin(x) par une série 15-03-10 à 21:56

merci de ta réponse désolé de prendre du temps avant de répondre ,je n'ai pas facilement accés au net.

au fait j'ai un peu mieux compris le truc ,pour montrer l'égalité ,j'ai fait
sin(x)-lim un et je veux montrer que c'est egal a lin o(xn)
et ainsi montrer que cette limite tend vers 0 ,mais je ne suis pas sur de sa
en effet je sais que lim o(xn) tend vers 0 quand x tend vers 0 mais je ne sais pas comment il va se comporter quand n tend vers et je ne sais pas non plus trop comment le rediger
encore merci de l'aide

Posté par
Camélia Correcteurre : EXO L1 approche de sin(x) par une série 16-03-10 à 14:19

Il ne faut pas garder des o(x^n) avec n variable, c'est le plus sur moyen de faire des bêtises...

Je pose X_n=\sum_{k=1}^n(-1)^kx^k

D'après la dernière formule que j'ai écrite,

|\sin(x)-X_n|=\|\frac{x^{2n+2}\sin(2n+2)(\theta_n)}{(2n+2)!}\|\leq \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}

et ce truc yend vers 0 (pour x fixé et n tendant vers l'infini)


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