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Exo sur la determination d'un conique avec de la géométrie.
Bonjour, je bloque a exo de DM ...
On considère un carré ABCD. A tout point M du plan, on associe son projeté H sur la droite (BD) parallèlement à la droite (AD). On désigne E l'ensemble des points M du plan verifiant l'égalité 2MA2=MH2
1) Quelle est la nature de E ? on introduira H' le projeté ortho de M sur (BD)
2) On suppose que ABCD est un carré de coté 1. Determiner une équa de E dans le repère (A, AD, AB)
3) Donner une équation reduite de E puis repréenter E
J'ai voulu fair un schéma avec l'énnoncé mais je bloque à la phrase : "A tout point M du plan, on associe son projeté H sur la droite (BD) parallèlement à la droite (AD)"
Alors n'arrivant pas a faire de dessin ... je me suis lancé sans ...
Donc, si 2MA2=MH2 alors RacineCarré(MH/MA)=RacineCarré(2)
donc E, l'excentricité est supérieur à 1, il s'agit d'une hyperbole ... trop facile à mon gout ... donc je pense que c'est pas bon mais les coniques, sont encore et encore abstrait pour moi !
Un peu d'aide svp ...
Apparament, les coniques ne plaisent à personnes ...
Bon j'ai quand mm un DM à rendre ... XD
Deja que je trime pour les autres exos ... alors là ! C'est la ca-ta, la ca-ta la ca-ta-strophe !
Bonjour,
En analytique - qui n'est pas ce qui est demandé - je trouve une parabole d'axe oblique...
Je te le sers quand même, ça peut être utile pour la suite...
Je prends un carré de côté a :
A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a)
L'équation de BD est x+y = a, ou y = a-x
La droite AD est verticale
Un point M(x,y) se projette parallèlement à AD, donc verticalement, sur BD en H(x,a-x)
La longueur AM satisfait à AM² = x²+y²
Les composantes de MH sont (0,a-x-y)
La longueur MH² satisfait à MH² = (a-x-y)²
Donc
2(x²+y²) = (a-x-y)² = a²+x²+y²+2xy-2ax-2ay
x²-2xy+y²+2ax+2ay = a²
(x-y)²+2a(x+y) = a²
Fais le changement de variables x-y = X, x+y = Y (rotation d'axes de 
/4) et homothétie) :
X²+2aY=a²
Y = -X²/2a + a/2
c'est une parabole d'axe X = 0, donc x = y, donc AC
Reste à déterminer son foyer sur AC et sa directrice 
BD, et à se dire "bon sang, mais c'est bien sûr..."
C'est certainement la qu'intervient H'. La suite plus tard, peut-être...
Bonjour 
En introduisant, comme le suggère l'énoncé, le projeté orthogonal H' de M sur BD, on a :
MH2 = 2 MH'2, car le triangle MH'H est rectangle isocèle.
La relation MH2 = 2 MA2 équivaut donc à
MH' = MA
Le lieu est donc la parabole de foyer A et de directrice BD.
Merci pour toutes ses réponses ! Un trvail de chef tout les deux, merci ! Je m'y penche demain matin et post mes resultats dans la matinée ... Encore merci à vs deux !
Bonne nuit !
Alors alors, j'ai des questions plein la tête !
Donc tout d'abord, merci pour le travail fourni qui est plus que remarquable ... mais, il y a des notions que je ne comprends pas. L'explication de LeHibou me parait clair mais difficile a assimilé, je n'ai jamais trop vu ce type de raisonnement mais bon c'est juste. Un peu trop dur pour moi 
Y a t-il une autre explication ?
Le schéma en revanche m'apporte lumière sur le fameuse phrase de l'énoncé. Mais frenicle, pourquoi :
"MH2 = 2 MH'2, car le triangle MH'H est rectangle isocèle.
La relation MH2 = 2 MA2 équivaut donc à
MH' = MA
Le lieu est donc la parabole de foyer A et de directrice BD."
Autant sur le schéma je suis ok... mais pour l'expliquer ... c'est pas pareil ...
Si vous pouviez encore un peu m'aider ?
En tout cas encore un grand merci pour votre travail qui m'aide vraiement !
Sur le schéma, pas de problème isocèle rectangle sauf que avec l'énoncé je ne pourrai jamais obtenir ce schéma ... puisque mon but c'est qu'à la FIN de l'exo j'obtienne la parabole.
Donc il me reste juste la relation fourni dans l'énoncé et un point mobile et son projeté H et H' ...
mais de la prouver que c'est rectangle isocèle ?!
Comment de 2MA^2=MH^2 montrer ce que vous m'avez dit au dessus ... même si je suis 100% d'accord avec vous ... c'est la rédaction qui me bloque, l'explication plus précisément ... on ne peut justifier par un schéma ...
On te demande la nature de la courbe à la première question.
Pour montrer que le triangle est rectangle en H', c'est facile puisque H' est le projeté orthogonal de M sur BD.
Ensuite, MH étant parallèle à AD (projection parallèle), l'angle de MH avec BD est le même que celui de AD avec BD, soit /4 (diagonale du carré ABCD).
Pas besoin de figure pour expliquer ça (mais c'est mieux d'en mettre une...).
D'accord oui, un grand merci pour cette explication !
Donc oui si j'ai mm distance, je tombe sur une parabole et j'explique cela avec le triangle rectangle et le point H' => OK
2) ABCD est un carré de coté 1, Determiner une équa de E dans le repère (A, AD, AB).
Donc je suppose que je dois me servir du Sommet de la parabole (0,0) et de la direcrice (BD) ?
(BD) a pour équation : y=1-x
et j'ai l'égalité suivante qui tombe du ciel : MF/dist(M,(BD)) =1 ssi (MF2)/dist2(M,(BD)) =1
1 car c'est une parabole ! e=1
Donc, (x2+y2)/{(x+y-1)2/2 }
C'est bien ou je m'enfonce ...
Une précision : A(0,0) est le foyer de la parabole, pas son sommet.
Pourquoi dis-tu que l'égalité tombe du ciel ?
Non le sommet, c'est (1/4, 1/4).
Sinon, tu peux écrire directement x2 + y2 = (x + y - 1)2/2
(c'est-à-dire MA2 = MH'2)
A oui mince, jsuis à la ramasse ! XD
Sinon comment justifier que c'est 1/4 ?
Un grand merci à toi frenicle pour ton aide précieuse ....
Le sommet est l'intersection de la parabole avec son axe.
L'axe est la perpendiculaire à la directrice passant par le foyer.
Donc l'axe a pour équation y = x.
En faisant y = x dans l'équation de la parabole, on trouve 4x = 1.
On peut aussi raisonner géométriquement.
Oui donc mon raisonnement par sommet n'est pas valable puisqu'on le détermine qu'avec l'équation de la parabole or moi j'en ai besoin avant (pour déterminer l'équation justement).
A la réflexion, je me demande si quelque chose ne t'a pas échappé.
La définition qu'on t'a donnée de la parabole, c'est le lieu des points M tels que dist(M,F)/dist(M,d) = 1, où F est le foyer et d la directrice.
Cette relation peut s'écrire bien sûr aussi dist(M,F) = dist(M,d).
C'est une façon équivalente de définir la parabole.
Quand on a montré géométriquement que MA = MH', on a justement prouvé que dist(M,A) = dist(M, BD) ou que dist(M,A)/dist(M,BD) = 1, donc que la courbe est la parabole de foyer A et de directrice BD avec ta définition.
Je ne sais pas si ça t'aide ?
Je me suis embrouiller car on avait fait une application du cours ou utilisais le sommet et non le foyer ... et je ne pensais pas que cela marchais avec le foyer alors que oui !
Je ne sais pas si c'est les vacances mais j'arrive pas bien à réfléchir, comme si mon cerveau tourné au ralenti !
Enfin un grand merci pour tout l'aide apporté, cela ma fait revoir les parabole et mon DM me parait bien plus clair ! Merci et encore merci !
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