Niveau terminale

exo sur les complexes

Posté par
azerty91 06-11-07 à 15:29

Bonjour voila j'ai un exercice sur les complexes et je ne sait pas comment mis prendre.
Soit f la fonction qui à tout nombre complexe z différent de -2i associe:
Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i)
On appele A et B les points d'affixes respectives
z_a=2-i z_b=-2i
A)Determiner l'ensemble E des points M d'affixe z tel que Z soit un reel.
B)Determiner l'ensemble F des points M d'affixe z tel que Z soit un imaginaire pur.
C)Calculer |f(z)-1|*|z+2i|.
Merci de votre aide.

Posté par re : exo sur les complexes 06-11-07 à 16:46

Bonjour,

A) $Z$ réel $\Longleftrightarrow$ $\frac{z-2+i}{z+2i}$ réel avec $z\not=-2i$

Soit $\frac{z-z_A}{z-z_B}$ réel avec $z\not=-2i$

ou encore $\{Arg(\frac{z-z_A}{z-z_B})=0\;\;[\pi]\\\text{ou}\\Z=0$ avec $z\not=-2i$

et en passant aux angles de vecteurs:

$\{(\vec{MB},\vec{MA})=0\;\;[\pi]\\\text{ou}\\z=z_A$ avec $M\not=B$

$(E)$ est donc la droite $(AB)$ privée du point $B$

B) $Z$ Imaginaire pur $\Longleftrightarrow$ $\frac{z-2+i}{z+2i}$ Imaginaire pur avec $z\not=-2i$

Soit $\frac{z-z_A}{z-z_B}$ Imaginaire pur avec $z\not=-2i$

ou encore $\{Arg(\frac{z-z_A}{z-z_B})=\frac{\pi}{2}\;\;[\pi]\\\text{ou}\\Z=0$ avec $z\not=-2i$

et en passant aux angles de vecteurs:

$\{(\vec{MB},\vec{MA})=\frac{\pi}{2}\;\;[\pi]\\\text{ou}\\z=z_A$ avec $M\not=B$

$(F)$ est donc le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $B$

Posté par re : exo sur les complexes 06-11-07 à 16:50

Tiens, j' ai oublié le C!

$|f(z)-1||z+2i|=\frac{|z-2+i-z-2i|}{|z+2i|}|z+2i|=|-2-i|=\sqrt{5}$

Posté par re 06-11-07 à 19:25

Merci cailloux j'ai bien compris pour le a et b mais que fait tu dans le c.

Posté par re 06-11-07 à 19:30

oups jviens de comprendre le début mais comment de |-2-i| tu trouve 5.
Merci

Posté par re : exo sur les complexes 06-11-07 à 19:33

On a bien : $f(z)-1=\frac{z-2+i}{z+2i}-1=\frac{z-2+i-z-2i}{z+2i}=\frac{-2-i}{z+2i}$

Puis: $|f(z)-1||z+2i|=\frac{|-2-i|}{|z+2i|}\,|z+2i|=|-2-i|=\sqrt{5}$ non?

Posté par re : exo sur les complexes 06-11-07 à 19:33

$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ : c' est du cours...

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