Bonjour tt le monde

J'aimerais bien un peu d'aide svp pour cet exercice

1) Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5^(n) par 13

2) En déduire que 1981^(1981)-5 est divisible par 13

Pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est juste ( ce signe veut dire congru)

1981 # 5 mod (13)
1981^2 # 5^2 mod (13)     or 5^2= 25 # 12 mod (13)
1981^2 # 12 mod (13)
1981^3 # 5^3 mod (13)     or 5^3= 125 # 8 mod (13)
1981^3 # 8 mod (13)
1981^4 # 5^4 mod (13)     or 5^4= 625 # 1 mod (13)
1981^4 # 1 mod (13)

C'est un phénomène périodique de période 4

Si p = 4k+1  alors 1981^(p) # 5 mod (13)
Si p = 4k+2  alors 1981^(p) # 12 mod (13)
Si p = 4k+3  alors 1981^(p) # 8 mod (13)
Si p =4k     alors 1981^(p) # 1 mod (13)

Or p= 1981
1981= 495*4+1   dc 1981^(1981) # 5 mod (13)

Le reste dans la division de 1981^(1981) par 13 est 5
Si on soustrait 5  à 1981^(1981) le reste est nul  dc
1981^(1981)-5 est divisible par 13

3) Démontrer, que pr tt N, n sup ou égal à 1, le nombre N= 31^(4n+1) + 18^(4n-1) est divisible par 13

Pouvez vous m'aider pour les questions 1 et 3 et me dire si la 2 est juste

Un grand merci d'avance