Niveau terminale

Exo type bac sur les fonctions

Posté par
Otus 09-03-14 à 16:24

Bonjour,

Je ne suis pas très sure de moi sur la résolution de cet exercice et je bloque sur une question.

Merci d'avance pour votre aide.

Exo type bac sur les fonctions
_{* Tom_Pascal > image placée sur le serveur de l', merci d'en faire autant la prochaine fois Otus *}

Soit la fonction f définie sur ]0;+[ et représentée dans le repère orthonormal ci contre par Cf.

Celle ci passe par le point $A( \frac{1}{e}; 0 )$ et admet une tangente horizontale D1 en B.

1a) Déterminer graphiquement f(1) et f'(1)

J'ai trouvé f(1)=-3 c'est le point .

Pour f'(1) on demande le nombre dérivé en 1 , c'est donc le coef directeur de la tangeante en x=1. Donc de la tangeante en B. DOnc c'est le coef directeur de D1. D1 a pour équation y= -3.
Donc f'(1) = 0

1b) déterminer graphiquement les solutions de l'inéquations f(x)>0  et f'(x)>0

Pour f(x) > 0 j'ai surligné en jaune et j'ai donc trouvé S =   $A(0; \frac{1}{e})$

Pour f'(x) > 0 je ne suis pas sure, j'ai mis S = car D1 est en dessous de l'axe des abscisses et n'a donc aucune portion positive.

Est ce que c'est juste pour le moment ?

2) La fonction f est définie sur  ]0;+[ par $f(x) = \frac{a+bln(x)}{x}$ où a et b sont deux nombres réels.

2a) Exprimer f'(x) en fonction de x, de a et de b.

Alors j'ai trouvé $f'(x) = \frac{b[1-ln(x)]-a}{x²}$

2b) En utilisant la question 1, déterminer deux conditions sur a et b puis trouver les valeurs de a et de b.

Alors j'ai fait un système d'équation avec f(1) = -3 et f'(1) =0 et après résolution j'ai trouvé a = b = -3

2c) Retrouver les résultats de la question 1b par le calcul.

Avec les valeurs de a et b, j'ai dit que $f(x) = \frac{-3- 3ln(x)}{x}$

les racines sont $x= e^{-1}$ ainsi que x=0

J'ai fait un tableau de signe ( que je ne vous remets pas ici car je n'en suis pas capable ) et j'ai trouvé S=   $A(0; e^{-1})$ =   $A(0; \frac{1}{e})$   car $e^{-1} = \frac{1}{e}$

De la même façon, pour f'(x) j'ai trouvé $f'(x) = \frac{-3[1-ln(x)]+3}{x²}$

les racines sont x=0 et x=1 et par un tableau de signe j'ai trouvé S=]1;+[ .

Et c'est la où je doute car pour la première inéquation je retombe bien sur mes pattes mais pour la deuxième pas du tout.

Merci de m'aider svp et de me dire où est ce que j'ai fait des erreurs.

Bon après-midi.

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 16:57

Bonjour

on vous demande sur quel intervalle la fonction dérivée est positive et non la fonction
on sait que si la fonction est croissante sur I alors sa fonction dérivée est positive

$f'(x)=\dfrac{b-a-b \ln x}{x^2}$

$a=b=-3$

$f(x)=\dfrac{-3-3\ln x}{x}\quad \f'(x)=\dfrac{3 \ln x}{x^2}$

vous pouvez faire des simplifications

il n'est pas nécessaire de faire des tableaux de signe
vous avez à résoudre

$-3-3 \ln x >0$ et $\ln x >0$

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:02

Citation :

1b) déterminer graphiquement les solutions de l'inéquations f(x)>0 et f'(x)>0

Pour f(x) > 0 j'ai surligné en jaune et j'ai donc trouvé S = A(0; \frac{1}{e})

Pour f'(x) > 0 je ne suis pas sure, j'ai mis S = car D1 est en dessous de l'axe des abscisses et n'a donc aucune portion positive.

Est ce que c'est juste pour le moment ?

La solution attendue est un intervalle. Pour quels valeurs de x à t-on f(x) (c'est ta courbe ça) plus grand que 0.
On rapprochant ça à ce que t'as colorié en jaune, pour quels valeurs de x, ta courbe est dans le jaune ?

f'(x)>0 revient à dire que le coeff directeur de la tangente est positif, et donc que la droite "monte" -pas très mathématique de dire ça mais bon, c'est compréhensible-.
De même, pour quelles valeurs de x la tangente "montera" t-elle ?

Je n'ai pas le temps de regarder la suite, bon courage!

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:08

Ha oui, pardon, prise dans la rédaction du post j'ai oublié de te donner les intervalle .

Donc pour f(x) > 0 graphiquement j'ai S = ]0 ; 1/e[

et pour f'x >0 graphiquement je ne trouve pas de solution et j'ai donc S = " alt="" class="tex" />

Mais la ou j'ai un souci, c'est avec la dernière question quand on doit le retrouver par le calcul.

Je ne trouve aps la meme chose pour l'inéquation sur f' .

Merci de m'aider.

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:09

arf S = ensemble vide.

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:15

pour la deuxième inéquation de la question 1 b l'ensemble solution n'est pas vide

si  la fonction est décroissante  la dérivée est négative

si la fonction est croissante  la dérivée est positive

par lecture graphique sur quel intervalle la fonction est-elle croissante?   vous retrouverez alors le résultat de la 2e question

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:16

C'est bien ça pour la première question.
Pour la seconde, ce n'est pas l'ensemble vide. f'(x), représente les coeff des tangentes à la courbe au point (x,f(x)), j'ai l'impression que tu regardes la tangente en B à différents endroits.

Une autre manière de voir la chose, dire que f'(x)>0 revient à dire que f est croissante. f est croissante sur quel intervalle.. ?

Posté par re : Exo type bac sur les fonctions 09-03-14 à 17:19

Citation :
Une autre manière de voir la chose, dire que f'(x)>0 revient à dire que f est croissante. f est croissante sur quel intervalle.. ?

Ha oui, merci beaucoup. La je retombe bien sur mes pattes. JE retrouve l'intervalle S=]1;+

[ .

Merci pour ton aide.

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